课时作业29平面向量的数量积一、选择题1．(2015·陕西卷)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A．|a·b|≤|a||b|B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a＋b)2＝|a＋b|2D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2解析：由向量数量积的性质易知A、C、D都正确；对于选项B，取a＝(1，0)，b＝(－1，0)，则|a|＝|b|＝1，|a－b|＝2，所以B不正确．答案：B2．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为，则|a＋b|＝()A．1B.C.D．2解析：由题意可得|a|＝|b|＝1，又它们的夹角为，所以|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝1＋1＋2×1×1×cos＝3，故|a＋b|＝，故选C.答案：C3．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，3)，若存在向量c使得a·c＝4，b·c＝－9，则向量c＝()A．(－3，2)B．(4，3)C．(3，－2)D．(2，－5)解析：设c＝(x，y)， a＝(2，1)，b＝(－1，3)，a·c＝4，b·c＝－9，∴解得∴c＝(3，－2)，故选C.答案：C4．(2016·辽宁沈阳质检一)在△ABC中，|AB―→＋AC―→|＝|AB―→－AC―→|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC的三等分点，则AE―→·AF―→＝()A.B.C.D.解析：由|AB―→＋AC―→|＝|AB―→－AC―→|，化简得AB―→·AC―→＝0，又因为AB和AC为三角形的两条边，不可能为0，所以AB―→与AC―→垂直，所以△ABC为直角三角形．以AC为x轴，以AB为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)，由E，F为BC的三等分点知E，F，所以AE―→＝，AF―→＝，所以AE―→·AF―→＝×＋×＝.答案：B5．(2016·河南郑州一检)在Rt△ABC中，CA＝CB＝3，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝，则CM―→·CN―→的取值范围为()A.B．[2，4]C．[3，6]D．[4，6]解析：记MN的中点为E，则有CM―→＋CN―→＝2CE―→，CM―→·CN―→＝[(CM―→＋CN―→)2－(CM―→－CN―→)2]＝CE―→2－MN―→2＝CE―→2－.又|CE―→|的最小值等于点C到AB的距离，即，故CM―→·CN―→的最小值为－＝4.当点M与点A(或B)重合时，|CE―→|达到最大，|CE―→|的最大值为＝，因此CM―→·CN―→的取值范围是[4，6]，选D.答案：D6．在△ABC中，已知向量AB―→与AC―→满足·BC―→＝0，且·＝，则△ABC为()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．三边均不相等的三角形解析：因为，分别为AB―→，AC―→方向上的单位向量，故由·BC―→＝0可得BC⊥AM(M是∠BAC的平分线与BC的交点)，所以△ABC是以BC为底边的等腰三角形，又·＝，所以∠BAC＝60°，所以△ABC为等边三角形．答案：A二、填空题7．(2015·湖北卷)已知向量OA―→⊥AB―→，|OA―→|＝3，则OA―→·OB―→＝________．解析：因为OA―→⊥AB―→，所以OA―→·AB―→＝OA―→·(OB―→－OA―→)＝OA―→·OB―→－|OA―→|2＝0，则OA―→·OB―→＝|OA―→|2＝9.答案：98．已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________．解析：由已知得cosβ＝＝＝， e1与e2是单位向量，其夹角为α，且cosα＝，∴|e1|2＝|e2|2＝1，e1·e2＝|e1||e2|cosα＝.∴cosβ＝＝.答案：9．(2016·湖南长沙十三校二联)平面向量a，b，e满足|e|＝1，a·e＝1，b·e＝2，|a－b|＝2，则a·b的最小值为________．解析：在直角坐标系中表示向量e，a，b，设e＝(1，0)，由于a·e＝1，b·e＝2，可设a＝(1，m)，b＝(2，n)，则|a－b|＝＝2，则|m－n|＝，m＝n＋(或m＝n－)，不妨取m＝n＋，则a·b＝2＋mn＝2＋n(n＋)＝n2＋n＋2＝＋，所以a·b的最小值为.答案：三、解答题10．如图，平面四边形ABCD中，AB＝13，AC＝10，AD＝5，cos∠DAC＝，AB―→·AC―→＝120.(1)求cos∠BAD；(2)设AC―→＝xAB―→＋yAD―→，求x，y的值．解：(1)设∠CAB＝α，∠CAD＝β，cosα＝＝＝，cosβ＝，∴sinα＝，sinβ＝，∴cos∠BAD＝cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.(2)由AC―→＝xAB―→＋yAD―→得∴解得11．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若AB―→·AC―→＝CA―→·CB―→＝k(k∈R)．(1)判断△ABC的形状；(2)若k＝2，求b的值．解：(1) AB―→·AC―→＝cbcosA，CA―→·CB―→＝bacosC，∴bccosA＝abcosC，根据正弦定理，得sinCcosA＝sinAcosC，即sinAcosC...
