课时分层作业(二十三)抛物线的标准方程(建议用时：40分钟)一、选择题1．抛物线y＝4x2的焦点坐标是()A．(0,1)B．(1,0)C．D．C[由y＝4x2得x2＝y，∴抛物线在y轴正半轴上且2p＝，∴p＝∴焦点为．]2．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－4xB．x2＝4yC．y2＝－4x或x2＝4yD．y2＝4x或x2＝－4yC[ 抛物线的顶点在原点，且过点(－4,4)，设抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)或y2＝－2px(p＞0)，将点(－4，4)的坐标代入x2＝2py得16＝8p∴p＝2，∴标准方程为x2＝4y，将(－4,4)代入y2＝－2px得p＝2．∴此时标准方程为y2＝－4x．]3．已知函数y＝2x在区间[0,1]的最大值为a，则抛物线＝ax的准线方程是()A．x＝－3B．x＝－6C．x＝－9D．x＝－12B[函数y＝2x在[0,1]上为增函数，∴最大值为a＝2．∴抛物线＝2x化为标准方程是y2＝24x，则2p＝24，p＝12，＝6．∴抛物线＝2x的准线方程为x＝－6．]4．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是()A．B．C．1D．B[抛物线y2＝4x的焦点是(1,0)，双曲线x2－＝1的一条渐近线方程为x－y＝0，根据点到直线的距离公式可得d＝．]5．已知M是抛物线y2＝2px(p＞0)上的点，若M到此抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和4，则点M的横坐标为()A．1B．1或4C．1或5D．4或5B[因为点M到对称轴的距离为4，所以点M的坐标可设为(x,4)(或(x，－4))，又因为M到准线的距离为5，所以解得或]1二、填空题6．设抛物线y＝－2x2上一点p到x轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是．[抛物线y＝－2x2上一点到x轴的距离为4，即点到x轴的距离d＝4，则点P的纵坐标为－4代入x2＝－y，解得x＝±，所以点P(，－4)或(－，－4)，抛物线x2＝－y的焦点坐标为，所以|PF|＝＋4＝．]7．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为．2[由抛物线方程y2＝2px(p＞0)，得其准线方程为x＝－．又圆的方程为(x－3)2＋y2＝16，∴圆心为(3,0)，半径为4．依题意，得3－＝4，解得p＝2．]8．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米．2[以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立直角坐标系(图略)．设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，抛物线方程为x2＝－2y．当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2米．]三、解答题9．根据下列条件求抛物线的标准方程．(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5．[解](1)双曲线方程化为－＝1，左顶点为(－3,0)．由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p＞0)且＝－3，∴p＝6，∴方程为y2＝－12x．(2)设所求焦点在x轴上的抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)．由抛物线定义得5＝|AF|＝．又(－3)2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9，故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x．210．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2m，P距抛物线的对称轴1m，则水池的直径至少应设计为多少米？(精确到1m)[解]如图所示，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．依题意有P′(1，－1)在此抛物线上，代入得p＝．故得抛物线方程为x2＝－y．B在抛物线上，将B(x，－2)代入抛物线方程得x＝，即|AB|＝，则|AB|＋1＝＋1，因此所求水池的直径为2(1＋)m，约为5m，即水池的直径至少应设计为5m．11．(多选题)设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在y轴上，若线段FM的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为，则点M的坐标为()A．(0，－4)B．(0，－2)C．(0,2)D．(0,4)BC[根据题意，抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为，准线方程为x＝－．设B的坐标为(m，n)，若B为F、M的中点，则m＝＝，又由点B到抛物线准线的距离为，则－＝，解可得p＝．则抛物线的方程为y2＝2x，且m＝，又B在抛物线上，则n2＝2×＝1解得n＝±1，则B，M(0，2)或(0，－2)．]12．已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝()A．3B．63C．9D．12B[ 抛物线C：y2＝8x的焦点为(2,0)，准线方程为x＝－2...
