圆锥曲线与方程综合题专练1．(2015·湖南文，20)已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且AC与BD同向．(1)求C2的方程；(2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率．[解析](1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0,1)，因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2－b2＝1①；又C1与C2的公共弦长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为：x2＝4y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为(±，)，∴＋＝1②，联立①②得a2＝9，b2＝8，故C2的方程为＋＝1.(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，因AC与BD同向，且|AC|＝|BD|，所以AC＝BD，从而x3－x1＝x4－x2，即x3－x4＝x1－x2，于是(x3＋x4)2－4x3x4＝(x1＋x2)2－4x1x2③设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1，由得x2－4kx－4＝0，由x1，x2是这个方程的两根，∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4④由得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0，而x3，x4是这个方程的两根，x3＋x4＝－，x3x4＝－⑤将④、⑤代入③，得16(k2＋1)＝＋.即16(k2＋1)＝，所以(9＋8k2)2＝16×9，解得k＝±，即直线l的斜率为±.2．(2015·安徽文，20)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.[解析](1) |BM|＝2|MA|且A(a,0)，B(0，b)，1∴M(a，b)．又 OM的斜率为，∴＝⇒＝⇒＝⇒＝⇒e＝.(2)由题意可知N点的坐标为(，－)，∴kMN＝＝＝，kAB＝，∴kMN·kAB＝－＝－1.∴MN⊥AB.3．(2015·广东文，20)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．[解析](1)圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0化为(x－3)2＋y2＝4，所以圆C1的圆心坐标为(3,0)．(2)设线段AB的中点M(x0，y0)，由圆的性质可得C1M垂直于直线l.设直线l的方程为y＝mx(易知直线l的斜率存在)，所以kC1M·m＝－1，y0＝mx0，所以·＝－1，所以x－3x0＋y＝0，即2＋y＝.因为动直线l与圆C1相交，所以＜2，所以m2＜，所以y＝m2x＜x，所以3x0－x＜x，解得x0＞或x0＜0，又因为0＜x0≤3，所以＜x0≤3.所以M(x0，y0)满足2＋y＝，即M的轨迹C的方程为2＋y2＝.(3)由题意知直线L表示过定点T(4,0)，斜率为k的直线．结合图形，2＋y＝表示的是一段关于x轴对称，起点为按逆时针方向运动到的圆弧．根据对称性，只需讨论在x轴下方的圆弧．设P，则kPT＝＝，而当直线L与轨迹C相切时，＝，解得k＝±.在这里暂取k＝，因为＜，所以kPT＜k.可得对于x轴下方的圆弧，当0≤k≤或k＝时，直线L与x轴下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知－≤k≤或k＝±.综上所述：当－≤k≤或k＝±时，直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一交点．4．(2015·陕西文，20)如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点A(0，－1)，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.[解析](1)由题意知＝，b＝1，综合a2＝b2＋c2，解得a＝，所以，椭圆的方程为＋y2＝1.(2)由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0，由已知Δ＞0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，则x1＋x2＝，x1x2＝，从而直线AP与AQ的斜率之和2kAP＋kAQ＝＋＝＋＝2k＋(2－k)(＋)＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.5．(2015·天津文，19)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的上顶点为B，左焦点为F，离心率为.(1)求直线BF的斜率；(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B)，过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B)，直线PQ与y轴交于点M，|PM|＝λ|MQ|.(i)求λ的值；(ii)若|PM|sin∠BQP＝，求椭圆的方程．[解析](1)F(－c,0)，由已知离心率＝及a2＝b2＋c2，可得a＝c，b＝2c，又因为B(0，b)，F(－c,0)故直线BF的斜率k＝＝＝2.(2)设点P(xP，y...
