第五章数系的扩充与复数章末检测一、选择题1．i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则()A．i∈SB．i2∈SC．i3∈SD.∈S答案B2．z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案A解析因为z1＝z2，所以，解得m＝1或m＝－2，所以m＝1是z1＝z2的充分不必要条件．3．(2013·天津改编)已知i是虚数单位，m，n∈R，且m＋i＝1＋ni，则＝()A．－1B．1C．－iD．i答案D解析由m＋i＝1＋ni(m，n∈R)，∴m＝1且n＝1.则＝＝＝i.4．已知a是实数，是纯虚数，则a等于()A．1B．－1C.D．－答案A解析＝＝是纯虚数，则a－1＝0，a＋1≠0，解得a＝1.5．若(x－i)i＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi等于()A．－2＋iB．2＋iC．1－2iD．1＋2i答案B解析∵(x－i)i＝y＋2i，xi－i2＝y＋2i，∴y＝1，x＝2，∴x＋yi＝2＋i.6．已知2＋ai，b＋i是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，则p，q的值为()A．p＝－4，q＝5B．p＝4，q＝5C．p＝4，q＝－5D．p＝－4，q＝－5答案A解析由条件知2＋ai，b＋i是共轭复数，则a＝－1，b＝2，即实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根是2±i，所以p＝－[(2＋i)＋(2－i)]＝－4，q＝(2＋i)(2－i)＝5.17．(2013·新课标Ⅰ)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为()A．－4B．－C．4D.答案D解析因为复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，所以z＝＝＝＝＋i，故z的虚部等于，故选D.8．i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则ab的值是()A．－15B．3C．－3D．15答案C解析＝＝－1＋3i，∴a＝－1，b＝3，ab＝－3.9．(2013·广东)若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是()A．(2,4)B．(2，－4)C．(4，－2)D．(4,2)答案C解析z＝＝4－2i对应的点的坐标是(4，－2)，故选C.10．已知f(n)＝in－i－n(n∈N*)，则集合{f(n)}的元素个数是()A．2B．3C．4D．无数个答案B解析f(n)有三个值0,2i，－2i.二、填空题11．复平面内，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是________．答案(3,4)解析∵z＝m2－4m＋(m2－m－6)i所对应的点在第二象限，∴，解得31＋i；③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；④若一个数是实数，则其虚部不存在；⑤若z＝，则z3＋1对应的点在复平面内的第一象限．答案⑤解析由y∈∁CR，知y是虚数，则不成立，故①错误；两个不全为实数的复数不能比较大小，故②错误；原点也在虚轴上，表示实数0，故③错误；实数的虚部为0，故④错误；⑤中2z3＋1＝＋1＝i＋1，对应点在第一象限，故⑤正确．三、解答题15．设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当m为何值时，(1)z是实数？(2)z是纯虚数？解(1)要使复数z为实数，需满足解得m＝－2或－1.即当m＝－2或－1时，z是实数．(2)要使复数z为纯虚数，需满足解得m＝3.即当m＝3时，z是纯虚数．16．设f(n)＝n＋n(n∈N)，求集合{x|x＝f(n)}中元素的个数．解∵＝i，＝－i，∴f(n)＝in＋(－i)n.设k∈N.当n＝4k时，f(n)＝2，当n＝4k＋1时，f(n)＝i4k·i＋(－i)4k·(－i)＝0，当n＝4k＋2时，f(n)＝i4k·i2＋(－i)4k·(－i)2＝－2，当n＝4k＋3时，f(n)＝i4k·i3＋(－i)4k·(－i)3＝0，∴{x|x＝f(n)}中有三个元素．17．(2013·山东德州期中)已知z＝1＋i，a，b为实数．(1)若ω＝z2＋3－4，求|ω|；(2)若＝1－i，求a，b的值．解(1)因为ω＝z2＋3－4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i，|ω|＝＝.(2)由条件＝1－i，得＝1－i.即＝1－i∴(a＋b)＋(a＋2)i＝1＋i，∴，解得.18．设z1是虚数，z2＝z1＋是实数，且－1≤z2≤1.(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；(2)若ω＝，求证：ω为纯虚数．(1)解设z1＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，则z2＝z1＋＝a＋bi＋＝＋i.因为z2是实数，b≠0，于是有a2＋b2＝1，即|z1|＝1，还可得z2＝2a.由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，解得－≤a≤，即z1的实部的取值范围是.(2)证明ω＝＝＝＝－i.因为a∈[－，]，b≠0，所以ω为纯虚数．3
