1.1.1平面直角坐标系一、选择题1．动点P到直线x＋y－4＝0的距离等于它到点M(2,2)的距离，则点P的轨迹是()A．直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线2．若△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,2)，B(2,3)，C(3,1)，则△ABC的形状为()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．钝角三角形3．在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝cos2x按伸缩变换后为()A．y＝cosxB．y＝3cosxC．y＝2cosxD．y＝cos3x4．将直线x＋y＝1变换为直线2x＋3y＝6的一个伸缩变换为()A.B.C.D.二、填空题5．若点P(－2012,2013)经过伸缩变换后的点在曲线x??y??＝k上，则k＝________.6．△ABC中，若BC的长度为4，中线AD的长为3，则A点的轨迹是________．7．将椭圆＋＝1按|?：变换后的曲线围成图形的面积为________．8．在平面直角坐标系xOy上，直线l：x＝－2交x轴于点A.设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO＝∠AOP.当点P在l上运动时，则点M的轨迹E的方程是____________．9．已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍．则动点M的轨迹C的方程是________．三、解答题(每小题10分，共30分)10．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形．(1)x2－y2＝1；(2)＋＝1.11．台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A地正东40km处．求城市B处于危险区内的时间．112．已知A(－1,0)，B(1,0)，圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，在圆C上是否分别存在一点P，使|PA|2＋|PB|2取得最小值与最大值？若存在，求出点P的坐标及相应的最值；若不存在，请说明理由．2平面直角坐标系答案1A【解析】 M(2,2)在直线x＋y－4＝0上，∴点P的轨迹是过M与直线x＋y－4＝0垂直的直线．2A【解析】|AB|＝＝，|BC|＝＝，|AC|＝＝，|BC|＝|AC|≠|AB|，△ABC为等腰三角形．3A【解析】由得代入y＝cos2x，得＝cosx′.∴y′＝cosx′，即曲线y＝cosx.4A【解析】设伸缩变换为由(x′，y′)在直线2x＋3y＝6上，∴2x′＋3y′＝6，则2λx＋3μy＝6.因此x＋y＝1，与x＋y＝1比较，∴＝1且＝1，故λ＝3且μ＝2.所求的变换为5.－1【解析】 P(－2012,2013)经过伸缩变换得代入x′y′＝k，得k＝x′y′＝－1.6【解析】取B、C所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(－2,0)、C(2,0)、D(0,0)．设A(x，y)，则|AD|＝.注意到A、B、C三点不能共线，化简即得轨迹方程：x2＋y2＝9(y≠0)．【答案】以BC的中点为圆心，半径为3的圆(除去直线BC与圆的两个交点)7解析：设椭圆＋＝1上任意一点的坐标为P(x，y)，按φ变换后的对应的坐标为P′(x′，y′)，由φ：得代入椭圆方程，得＋＝1，即x′2＋y′2＝1，圆的半径为1，所以圆的面积为π.答案：π8．解析：如下图所示，连接OM，则|PM|＝|OM|. ∠MPO＝∠AOP，∴动点M满足MP⊥l或M在x的负半轴上，设M(x，y)，3①当MP⊥l时，|MP|＝|x＋2|，|OM|＝，|x＋2|＝，化简得y2＝4x＋4(x≥－1)．②当M在x的负半轴上时，y＝0(x＜－1)，综上所述，点M的轨迹E的方程为y2＝4x＋4(x≥－1)或y＝0(x＜－1)．答案：y2＝4x＋4(x≥－1)或y＝0(x＜－1)9．解析：点M(x，y)到直线x＝4的距离，是到点N(1，0)的距离的2倍，则|x－4|＝2⇒＋＝1.所以，动点M的轨迹为椭圆，方程为＋＝1.答案：＋＝110【解】由伸缩变换得①(1)将①代入x2－y2＝1得9x′2－4y′2＝1，因此，经过伸缩变换后，双曲线x2－y2＝1变成双曲线9x′2－4y′2＝1，如图(1)所示．(2)将①代入＋＝1得x′2＋＝1，因此，经过伸缩变换后，椭圆＋＝1变成椭圆x2＋＝1，如图(2)所示．11【解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则B(40,0)，以点B为圆心，30为半径的圆的方程为(x－40)2＋y2＝302，台风中心移动到圆B内时，城市B处于危险区．台风中心移动的轨迹为直线y＝x，与圆B相交于点M，N，点B到直线y＝x的距离d＝＝20.求得|MN|＝2＝20(km)，故＝1，所以城市B处于危险区的时间为1h.12【解】假设圆C上分别存在一点P使|PA|2＋|PB|2取得最小值和最大值，则由三角形的中线与边长的关系式得|PA|2＋|PB|2＝2(|PO|2＋|AO|2)＝2|PO|2＋2，可见，当|PO|分别取得最小值和最大值时，相应...
