2.3数学归纳法课时过关·能力提升基础巩固1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N*),第一步应验证()A.当n=1时,不等式成立B.当n=2时,不等式成立C.当n=3时,不等式成立D.当n=4时,不等式成立解析:由题意知n的最小值为3,所以第一步应验证当n=3时,不等式成立,故选C.答案:C2.已知f(n¿=1n+1n+1+1n+2+…+1n2,则()A.f(n)共有n项,当n=2时,f(2¿=12+13B.f(n)共有(n+1)项,当n=2时,f(2¿=12+13+14C.f(n)共有(n2-n)项,当n=2时,f(2¿=12+13D.f(n)共有(n2-n+1)项,当n=2时,f(2¿=12+13+14解析:由题意知f(n)的最后一项的分母为n2,故f(2¿=12+13+122,排除选项A,选项C.又f(n¿=1n+0+1n+1+…+1n+(n2-n),所以f(n)的项数为n2-n+1.故选D.答案:D13.已知n为正偶数,用数学归纳法证明1−12+13−14+…+1n-1−1n=2(1n+2+1n+4+…+12n)时,若已假设当n=k(k≥2,且为偶数)时,命题为真,则还需要用归纳假设再证()A.当n=k+1时,等式成立B.当n=k+2时,等式成立C.当n=2k+2时,等式成立D.当n=2(k+2)时,等式成立解析:因为假设n=k(k≥2,且为偶数),所以下一个偶数为k+2,故选B.答案:B4.用数学归纳法证明不等式1+12+14+…+12n-1>12764¿n∈N*)成立,其初始值至少应取()A.7B.8C.9D.10解析:左边=1+12+14+…+12n-1=1-12n1-12=2−12n-1,代入验证可知n的最小值是8.答案:B5.用数学归纳法证明1−12+13−14+…+12n-1−12n=1n+1+1n+2+…+12n,则当n=k+1时,等式左边应在n=k的基础上加上()A.12k+2B.−12k+2C.12k+1−12k+2D.12k+1+12k+22解析:当n=k时,左边=1−12+13−14+…+12k-1−12k,当n=k+1时,左边=1−12+13−14+…+12k-1−12k+12k+1−12k+2.答案:C6.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,当第二步假设n=2k-1(k∈N*)命题为真时,进而需证n=时,命题为真.解析:因为n为正奇数,所以奇数2k-1之后的奇数是2k+1.答案:2k+17.在用数学归纳法证明“34n+2+52n+1(n∈N*)能被14整除”的过程中,当n=k+1时,式子34(k+1)+2+52(k+1)+1应变形为.答案:(34k+2+52k+1)34+52k+1(52-34)8.用数学归纳法证明122+132+142+…+1n2<1−1n¿n≥2,n∈N*).分析:验证当n=2时不等式成立→假设当n=k时不等式成立→证明当n=k+1时不等式成立→结论证明(1)当n=2时,左边=122=14,右边=1−12=12.因为14<12,所以不等式成立.(2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时,不等式成立,即122+132+142+…+1k2<1−1k,则当n=k+1时,122+132+142+…+1k2+1(k+1)2<1−1k+1(k+1)2=1−(k+1)2-kk(k+1)2=1−k2+k+1k(k+1)2<1−k(k+1)k(k+1)2=1−1k+1.3所以当n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2)知,对任意n≥2的正整数,不等式都成立.9.用数学归纳法证明1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2(其中n∈N*).证明(1)当n=1时,左边=1×4=4,右边=1×22=4,左边=右边,等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2,则当n=k+1时,1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)·[3(k+1)+1]=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)(k2+4k+4)=(k+1)[(k+1)+1]2,即当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对任何n∈N*都成立.能力提升1.某同学解答“用数学归纳法证明√n(n+1)
