课时作业(八)对数与对数函数一、选择题1．函数f(x)＝的定义域为()A．(0，＋∞)B．(1，＋∞)C．(0,1)D．(0,1)∪(1，＋∞)答案：D解析：由得∴01，故应选D.2．(2015·潍坊模拟)已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x－等于()A.B．C．D．答案：D解析：由log7[log3(log2x)]＝0，得log3(log2x)＝1，即log2x＝3，解得x＝8，所以x－－＝8－＝＝＝.故应选D．3．(2014·天津)函数f(x)＝(x2－4)的单调递增区间为()A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(2，＋∞)D．(－∞，－2)答案：D解析：函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f(x)是由y＝t与t＝g(x)＝x2－4复合而成，又y＝t在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．故应选D.4．已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则()A．a>b>cB．a>c>bC．b>a>cD．c>a>b答案：B解析：a＝log23.6＝log43.62＝log412.96，∵log412.96>log43.6>log43.2，∴a>c>b，故应选B.5．(2015·潍坊模拟)函数f(x)＝(x2－3x＋2)的值域是()A．RB．(1,2)C．[2，＋∞)D．(－∞，1)∪(2，＋∞)答案：A解析：由x2－3x＋2>0，得x>2或x<1，x2－3x＋2可以取到(0，＋∞)，所以函数的值域为R.故应选A.6．设函数f(x)＝若f(m)0时，f(m)1；当m<0时，f(m)0，a≠1)的图象恒过定点________．答案：(2,2)解析：∵loga1＝0，∴x－1＝1，即x＝2，此时y＝2.因此函数图象恒过定点(2,2)．9．(2014·重庆)函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为______．答案：－解析：依题意，得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝2－≥－，当且仅当log2x＝－，即x＝时等号成立，因此函数f(x)的最小值为－.10．(2015·山东济宁一模)关于函数f(x)＝lg(x≠0)，有下列命题：①其图象关于y轴对称；②当x>0时，f(x)是增函数；当x<0时，f(x)是减函数；③f(x)的最小值是lg2；④f(x)在区间(－1,0)，(2，＋∞)上是增函数；⑤f(x)无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是________．答案：①③④解析：易知f(x)＝lg(x≠0)为偶函数，显然利用偶函数的性质可知命题①正确；对真数部分分析可知真数的最小值为2，因此命题③成立；利用复合函数单调性的性质可知命题④成立；命题②，f(x)在(0,1]上为减函数，因此错误；命题⑤中，函数有最小值，因此错误．故填写①③④.三、解答题11．(2015·长春模拟)设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，a≠1)，且f(1)＝2.(1)求a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间上的最大值．解：(1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a>0，a≠1)，∴a＝2.由得x∈(－1,3)，∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x－1)2＋4]，∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；当x∈(1,3)时，f(x)是减函数．函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.12．已知函数f(x)＝lg(ax－bx)(a>1>b>0)．(1)判断函数f(x)在其定义域内的单调性；(2)若函数f(x)在区间(1，＋∞)内恒为正，试比较a－b与1的大小关系．解：(1)由ax－bx>0，得x>1.∵a>1>b>0，∴>1，∴x>0，∴f(x)的定义域为(0，＋∞)．设x1，x2∈(0，＋∞)，且x11>b>0，得ax2>ax1，bx1>bx2，所以ax2－bx2>ax1－bx1>0，∴f(x2)＝lg(ax2－bx2)>lg(ax1－bx1)＝f(x1)，∴f(x)是(0，＋∞)上的增函数．(2)由(1)，得x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)恒成立，要使f(x)>0，则只需f(1)≥0，即a－b≥1.13．(2015·济南模拟)已知函数f(x)＝为偶函数．(1)求实数a的值；(2)记集合E＝{y|y＝f(x)，x∈{－1,1,2}}，λ＝lg22＋lg2·lg5＋lg5－，判断λ与E的关系；(3)当x∈(m>0，n>0)时，若函数f(x)的值域为[2－3m,2－3n]，求m，n的值．解：(1)∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)，∴＝，∴2(a＋1)x＝0，∵x∈R且x≠0，∴a＝－1.(2)由(1)可知，f(x)＝，当x＝±1时，f(x)＝0；当x＝2时，f(x)＝，∴E＝，而λ＝lg22＋lg2lg5＋lg5－＝lg2(lg2＋lg5)＋lg5－＝lg2lg10＋lg5－＝lg2＋lg5－＝lg10－＝，∴λ∈E.(3)∵f(x)＝＝1－，x∈，m>0，n>0，∴f′(x)＝>0，∴f(x)在上单调递增．∴∴∴m，n为x2－3x＋1＝0的两个根，又由题意可知，<，且m>0，n>0，∴m>n，∴m＝，n＝.
