课时跟踪检测（四十三）空间向量的运算及应用一、题点全面练1．已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝()A．9B．－9C．－3D．3解析：选B由题意知c＝xa＋yb，即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，∴解得λ＝－9.2．若平面α，β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则()A．α∥βB.α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不正确解析：选C n1·n2＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)＝－29≠0，∴n1与n2不垂直，又n1，n2不共线，∴α与β相交但不垂直．3．在空间四边形ABCD中，AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝()A．－1B.0C．1D．不确定解析：选B如图，令AB＝a，AC＝b，AD＝c，则AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.4.如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且分MN所成的比为2，现用基向量OA，OB，OC表示向量，设＝xOA＋yOB＋zOC，则x，y，z的值分别是()A．x＝，y＝，z＝B.x＝，y＝，z＝C．x＝，y＝，z＝D．x＝，y＝，z＝解析：选D设OA＝a，OB＝b，OC＝c， 点G分MN所成的比为2，∴MG＝MN，∴＝OM＋MG＝OM＋(ON－OM)＝a＋＝a＋b＋c－a＝a＋b＋c，即x＝，y＝，z＝.5.如图，在大小为45°的二面角AEFD中，四边形ABFE，四边形CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是()A.B.C．1D.解析：选D BD＝BF＋FE＋ED，∴|BD|2＝|BF|2＋|FE|2＋|ED|2＋2BF·FE＋2FE·ED＋2BF·ED＝1＋1＋1－＝3－，∴|BD|＝.6.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点．用AB，AD，AA1表示OC1，则OC1＝________________.解析： OC＝AC＝(AB＋AD)，∴OC1＝OC＋CC1＝(AB＋AD)＋AA1＝AB＋AD＋AA1.答案：AB＋AD＋AA17.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是CD，PC的中点，并且PA＝AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，MN＝________.解析：连接PD(图略)， M，N分别为CD，PC的中点，∴MN＝PD，又P(0,0,1)，D(0,1,0)，∴PD＝＝，∴MN＝.答案：8．在正三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，底面边长为1，M为BC的中点，C1N＝λNC，且AB1⊥MN，则λ的值为________．解析：如图所示，取B1C1的中点P，连接MP，以M为坐标原点，MC，MA，MP的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系．因为底面边长为1，侧棱长为2，所以A，B1，C，C1，M(0,0,0)，设N，因为C1N＝λNC，所以N，所以AB1＝，MN＝.又因为AB1⊥MN，所以AB1·MN＝0.所以－＋＝0，所以λ＝15.答案：159．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离．解： ∠ACD＝90°，∴AC·CD＝0.同理AC·BA＝0. AB与CD成60°角，∴〈BA，CD〉＝60°或120°.又 BD＝BA＋AC＋CD，∴|BD|2＝|BA|2＋|AC|2＋|CD|2＋2BA·AC＋2BA·CD＋2AC·CD＝3＋2×1×1×cos〈BA，CD〉．当〈BA，CD〉＝60°时，BD2＝4；当〈BA，CD〉＝120°时，BD2＝2.∴|BD|＝2或，即B，D间的距离为2或.10.如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G分别是A1D1，D1D，D1C1的中点．(1)试用向量AB，AD，AA1表示AG；(2)用向量方法证明平面EFG∥平面AB1C.解：(1)设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则AG＝AA1＋＋D1G＝c＋b＋DC＝a＋b＋c＝AB＋AD＋AA1.故AG＝AB＋AD＋AA1.(2)证明：AC＝AB＋BC＝a＋b，EG＝ED1＋D1G＝b＋a＝AC， EG与AC无公共点，∴EG∥AC， EG⊄平面AB1C，AC⊂平面AB1C，∴EG∥平面AB1C.又 AB1＝AB＋BB1＝a＋c，FG＝FD1＋D1G＝c＋a＝AB1， FG与AB1无公共点，∴FG∥AB1， FG⊄平面AB1C，AB1⊂平面AB1C，∴FG∥平面AB1C.又 FG∩EG＝G，FG⊂平面EFG，EG⊂平面EFG，∴平面EFG∥平面AB1C.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP＝xOA＋yOB＋zOC(x，y，z∈R)，则“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的()A．必要不充分条件B.充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B当x＝2，y＝－3，z＝2时，即OP＝2OA－3OB＋2OC.则AP－AO＝2OA－3(AB－AO)＋2(AC－AO)...
