课时分层作业(四)(建议用时：45分钟)一、选择题1．空间直角坐标系Oxyz中，下列柱坐标对应的点在平面yOz内的是()A．(1，，2)B．(2，，0)C．(3，，)D．(3，，)[解析]由P(ρ，θ，z)，当θ＝时，点P在平面yOz内．[答案]A2．设点M的直角坐标为(2,0,2)，则点M的柱坐标为()A．(2,0,2)B．(2，π，2)C．(，0,2)D．(，π，2)[解析]设点M的柱坐标为(ρ，θ，z)，∴ρ＝＝2，tanθ＝＝0，∴θ＝0，z＝2.∴点M的柱坐标为(2,0,2)．[答案]A3．在空间球坐标系中，方程r＝2(0≤θ＜2π，0≤φ≤)表示()A．圆B．半圆C．球面D．半球面[解析]设动点M的球坐标为(r，θ，φ)，由于r＝2,0≤θ＜2π，0≤φ≤.动点M的轨迹是球心在点O，半径为2的上半球面．[答案]D4．已知点M的直角坐标为(0,0,1)，则点M的球坐标可以是()A．(1,0,0)B．(0,1,0)C．(0,0,1)D．(1，π，0)[解析]设M的球坐标为(r，θ，φ)，则r＝＝1，θ＝0，又cosφ＝＝1，∴φ＝0.故点M的球坐标为(1,0,0)．[答案]A二、填空题5．已知点M的球坐标为(4，，)，则点M到Oz轴的距离为________．[解析]设M的直角坐标为(x，y，z)，则由(r，θ，φ)＝(4，，)，知x＝4sincosπ＝－2，y＝4sinsinπ＝2，z＝rcosφ＝4cos＝2.∴点M的直角坐标为(－2,2,2)．故点M到Oz轴的距离为＝2.[答案]26．若点M的柱坐标为(2，，－2)，则点M的直角坐标为________．[解析]设点M的直角坐标为(x，y，z)，∵(ρ，θ，z)＝(2，π，－2)，1∴x＝ρcosθ＝－1，y＝ρsinθ＝，z＝－2.故点M的直角坐标为(－1，，－2)．[答案](－1，，－2)三、解答题7．已知球坐标系Oxyz中，M(6，，)，N(6，，)，求|MN|.[解]∵|OM|＝|ON|＝6，∠MON＝.∴△MON为等边三角形．∴|MN|＝6.8．在柱坐标系中，求满足的动点M(ρ，θ，z)围成的几何体的体积．[解]根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1,0≤θ<2π，0≤z≤2的动点M(ρ，θ，z)的轨迹如图所示，是以直线Oz为轴，轴截面为正方形的圆柱．圆柱的底面半径r＝1，h＝2，∴V＝Sh＝πr2h＝2π.9．经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻的位置，离地面2384千米，地球半径为6371千米，此时经度为80°，纬度为75°.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P的坐标．[解]在赤道平面上，选取地球球心为极点，以O为原点且与零度子午线相交的射线Ox为极轴，建立球坐标系．由已知航天器位于经度为80°，可知θ＝80°.由航天器位于纬度75°，可知，φ＝90°－75°＝15°，由航天器离地面2384千米，地球半径为6371千米，可知r＝2384＋6371＝8755千米．所以点P的球坐标为(8755,80°，15°)．23
