【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第3章第7节正弦定理、余弦定理的应用举例课后限时自测理苏教版[A级基础达标练]一、填空题1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的________．①北偏东10°；②北偏西10°；③南偏东10°；④南偏西10°[解析]灯塔A，B的相对位置如图所示，由已知得∠ACB＝80°，∠CAB＝∠CBA＝50°，则α＝60°－50°＝10°即北偏西10°.[答案]②2．已知两座灯塔A、B与C的距离都是a，灯塔A在C的北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为________．[解析]如图所示，由余弦定理可知，AB2＝a2＋a2－2a·a·cos120°＝3a2得AB＝a.[答案]a3．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边长之比为8∶5，则这个三角形的面积为________．[解析]设另两边长为8x与5x，则cos60°＝，解得x＝2，两边长为16与10，所以此三角形的面积为×16×10sin60°＝×16×10×＝40.[答案]404．一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是________海里/小时．[解析]如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，可得AB＝5，于是这只船的速度是10海里/小时．[答案]105．(2014·广州调研)如图3711所示，长为3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tanα＝________m.图3711[解析]由题意，在△ABC中，AB＝3.5m，AC＝1.4m，BC＝2.8m且∠α＋∠ACB＝π由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB，即3．52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)．∴cosα＝(计算有技巧：等式两边同除以0.72)．∴sinα＝，∴tanα＝＝.[答案]6．某人站在60米高的楼顶A处测量电视塔的高度，测得塔顶C的仰角为30°，塔底B的俯角为15°，已知楼底部D和电视塔的底部B在同一水平面上，则电视塔的高度为________米．[解析]如图所示，用AD表示楼高，BC表示塔高，设AE与水平面平行，E在线段BC上，因为∠CAE＝30°，∠BAE＝15°，AD＝BE＝60，则AE＝＝＝120＋60，在Rt△AEC中，CE＝AE·tan30°＝(120＋60)×＝60＋40.所以电视塔的高度为60＋40＋60＝(120＋40)米．[答案]120＋407．(2014·常州模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点距离为________海里．图3712[解析]由已知可得，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，从而∠ACB＝45°.在△ABC中，由正弦定理，BC＝×sin30°＝10.[答案]108．(2014·宿迁调研)如图3713，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m,50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为________．图3713[解析]依题意，得AD＝20m，AC＝30m.在△ACD中，CD＝50m，由余弦定理，cos∠CAD＝＝＝，又0°<∠CAD<180°，∴∠CAD＝45°，即张角为45°.[答案]45°二、解答题9．(2014·常州二模)如图3714所示，一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50千米/时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向)，汽车开动的同时，在距汽车出发点O点的距离为5千米、距离公路线的垂直距离为3千米的M点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机．问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少千米？图3714[解]作MH垂直公路所在直线于点H，则MH＝3千米，又 OM＝5千米，∴OH＝4千米，∴cos∠MOH＝，设骑摩托车人的速度为v千米/时，追上汽车的时间为t小时，追上汽车的地点为N.在△MON中，由余弦定理得MN2＝OM2＋ON2－2OM·ONcos∠MON，即(vt)2＝52＋(50t)2－2×5×50t×，∴v2＝－＋2500＝252＋900，∴当t＝时，v取得最大值30，其行驶距离为vt＝＝千米故骑摩托车的人至少以30千米/时的速度行驶才能实现...
