2．4.3直线与抛物线的位置关系设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程：ax2＋bx＋c＝0.(1)若a≠0，当Δ____0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ____0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ____0时，直线与抛物线相离，无公共点．(2)若a＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．因此，直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．(3)若直线l与抛物线有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝·，或|AB|＝|y1－y2|＝·.想一想：若直线与抛物线只有一个公共点，则这条直线是抛物线的切线吗？基础梳理(1)>＝<想一想：解析：不一定，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线只有一个公共点，此时，直线与抛物线相交而不是相切．1．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则()A．直线与抛物线有一个公共点B．直线与抛物线有两个公共点C．直线与抛物线有一个或两个公共点D．直线与抛物线可能没有公共点2．过点M(2，4)作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，则这样的直线的条数是()A．1条B．2条C．3条D．0条3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2自测自评1．C2.B3.B1．过(1，1)点与抛物线y2＝x只有一个公共点的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条1．解析：因为点(1，1)在抛物线y2＝x上，所以作与y2＝x只有一个公共点的直线有两条，其中一条为切线，一条为平行于x轴的直线．答案：B12．直线y＝2x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，则△ABO的面积为()A．2B．4C．6D．82．解析：由得x2－2x－4＝0，所以x1＋x2＝2，x1x2＝－4，|AB|＝＝10，原点到直线的距离d＝，S△AOB＝×10×＝4.答案：B3．(2014·吉林高二检测)设AB为抛物线y2＝x上的动弦，且|AB|＝2，则弦AB的中点M到y轴的最小距离为()A．2B.C．1D.3．解析：由题意，抛物线y2＝x的焦点坐标为，准线方程为x＝－，根据抛物线的定义， |AB|＝2，∴A，B到准线的距离和最小为2(当且仅当A、B、F三点共线时取最小)．∴弦AB的中点到准线的距离最小为1.∴弦AB的中点到y轴的最小距离为1－＝.答案：B4．若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________．4．解析：设A(x2，y1)，B(x2，y2)，联立直线与抛物线得方程组整理得x2－8x＋4＝0，所以x2＋x2＝8，y1＋y2＝x2＋x2－4＝4，所以中点坐标为(4，2)．答案：(4，2)5．(2014·成都高二检测)已知抛物线C的方程为x2＝y，过点A(0，－1)和点B(t，3)的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B.∪C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－)∪(，＋∞)5．解析：据已知可得直线AB的方程为y＝x－1，联立直线与抛物线方程，得消元整理，得2x2－x＋1＝0，由于直线与抛物线无公共点，即方程2x2－x＋1＝0无解，故有Δ＝(－)2－8<0，解得t>或t<－.答案：D6．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝()A.B．6C．12D．76．解析：抛物线的焦点坐标为F(，0)，直线AB的斜率k＝tan30°＝，所以直线AB的方程为y＝x－.由得x2－x＋＝0，故x1＋x2＝，x1x2＝.所以|AB|＝·|x1－x2|＝·＝12.答案：C7．设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上的点P(k，－2)与点F的距离为4，则k等于________________________________________________________________________．7．解析：由题设条件可设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，又点P在抛物线上，则k2＝4p，因为|PF|＝4，所以＋2＝4，即p＝4，所以k＝±4.答案：±428．(2015·山东烟台一模)已知抛物线y2＝2px的焦点F与双曲线－＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上，且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为________．8．解析：双曲线－＝1的右焦点为(4，0)，即为抛物线y2＝2px的焦点，所以＝4可得p＝8，所以抛物线的方程为y2＝16x，其准线为x＝－4，所以K(－4，0)，过A作AM垂直于准线，垂足为M...
