3.4生活中的优化问题举例【选题明细表】知识点、方法题号几何中的最值问题1,4,10用料最省、费用最省问题6,8,11利润最大问题5,7,9其他问题2,3【基础巩固】1.一个箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)=x2()(00,当400,所以当x=4时,y取得极小值,也是最小值.故选B.4.如果圆柱轴截面的周长l为定值,则体积的最大值为(A)(A)()3π(B)()3π(C)()3π(D)()3π解析:设圆柱的底面半径为r,高为h,体积为V,则4r+2h=l,所以h=,V=πr2h=πr2-2πr3(00,1所以r=是其唯一的极值点.所以当r=时,V取得最大值,最大值为()3π.故选A.5.(2018·石家庄高二质检)某银行准备设一种新的定期存款业务,经预测,存款额与存款利率的平方成正比,比例系数为k(k>0),贷款的利率为4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x(x∈(0,4.8%)),则使银行获得最大收益的存款利率为(A)(A)3.2%(B)2.4%(C)4%(D)3.6%解析:依题意知,存款额是kx2,银行应支付的存款利息是kx3,银行应获得的贷款利息是0.048kx2,所以银行的收益是y=0.048kx2-kx3(00;当0.0320),则L′=2-.令L′=0,得x=±16.因为x>0,所以x=16.当x=16时,Lmin=64,此时堆料场的长为=32(米).答案:32,167.(2018·长春高二月考)某厂生产某种产品x件的总成本c(x)=1200+x3(万元),已知产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,则产品件数定为件时,总利润最大.解析:设产品的单价为p万元,根据已知,可设p2=,其中k为比例系数.因为当x=100时,p=50,所以k=250000,所以p2=,p=,x>0.设总利润为y万元,则y=·x-1200-x3=500-x3-1200.2求导数得,y′=-x2.令y′=0得x=25.故当x<25时,y′>0;当x>25时,y′<0.因此当x=25时,函数y取得极大值,也是最大值.答案:258.(2018·南宁高二检测)现有一批货物由海上从A地运往B地,已知轮船的最大航行速度为35海里/时,A地至B地之间的航行距离约为500海里,每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成,轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6),其余费用为每小时960元.(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数;(2)为了使全程运输成本最小,轮船应以多大速度行驶?解:(1)依题意得y=(960+0.6x2)=+300x,且由题意知,函数的定义域为(0,35],即y=+300x(0
