课时作业62不等式的证明1．(2018·云南大理一模)已知函数f(x)＝|x|＋|x－3|.(1)解关于x的不等式f(x)－5≥x；(2)设m，n∈{y|y＝f(x)}，试比较mn＋4与2(m＋n)的大小解析：(1)f(x)＝|x|＋|x－3|＝f(x)－5≥x，即或或解得x≤－或x∈∅或x≥8，所以不等式的解集为∪[8，＋∞)．(2)由(1)易知f(x)≥3，所以m≥3，n≥3.由于2(m＋n)－(mn＋4)＝2m－mn＋2n－4＝(m－2)(2－n)且m≥3，n≥3，所以m－2>0,2－n<0，即(m－2)(2－n)<0，所以2(m＋n)
4ab(a2＋b2)．证明：因为a4＋6a2b2＋b2－4ab(a2＋b2)＝(a2＋b2)2－4ab(a2＋b2)＋4a2b2＝(a2＋b2－2ab)2＝(a－b)4.又a≠b，所以(a－b)4>0，所以a4＋6a2b2＋b4>4ab(a2＋b2)．3．(2018·武汉调研)(1)求不等式|x－5|－|2x＋3|≥1的解集；(2)若正实数a，b满足a＋b＝，求证：＋≤1.解析：(1)当x≤－时，－x＋5＋2x＋3≥1，解得x≥－7，∴－7≤x≤－；当－0)．(1)证明：f(x)≥2；(2)若f(3)<5，求a的取值范围．解析：(1)证明：由a>0，有f(x)＝＋|x－a|≥＝＋a≥2.所以f(x)≥2.(2)f(3)＝＋|3－a|.当a>3时，f(3)＝a＋，由f(3)<5得30，a2＋b2＝6，∴g(a)＋g(b)≤4(当且仅当a＝b＝时取等号)．即g(a)＋g(b)≤m.[能力挑战]6．(2018·武汉市武昌调研考试)设函数f(x)＝|x－2|＋2x－3，记f(x)≤－1的解集为M.(1)求M；(2)求x∈M时，证明：x[f(x)]2－x2f(x)≤0.解析：(1)由已知，得f(x)＝.当x≤2时，由f(x)＝x－1≤－1，解得x≤0，此时x≤0；当x>2时，由f(x)＝3x－5≤－1，解得x≤，显然不成立．故f(x)≤－1的解集为M＝{x|x≤0}．(2)证明：当x∈M时，f(x)＝x－1，于是x[f(x)]2－x2f(x)＝x(x－1)2－x2(x－1)＝－x2＋x＝－2＋.令g(x)＝－2＋，则函数g(x)在(－∞，0]上是增函数，∴g(x)≤g(0)＝0.故x[f(x)]2－x2f(x)≤0.
