2.2.2第1课时椭圆的几何性质一、选择题1．(2015·广东文，8)已知椭圆＋＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝()A．2B．3C．4D．9[答案]B[解析]由题意得：m2＝25－42＝9，因为m＞0，所以m＝3，故选B.2．已知椭圆＋＝1的焦点在y轴上，若焦距为4，则m＝()A．4B．5C．7D．8[答案]D[解析]因为焦点在y轴上，所以⇒6b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为()A.B.C.D.－2[答案]B[解析]本题考查椭圆方程，等比数列知识、离心率等． A、B分别在左右顶点，F1、F2分别为左右焦点，∴|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|BF1|＝a＋c，又由|AF1|、|F1F2|、|F1B|成等比数列得(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2，所以离心率e＝.6．我们把离心率等于黄金比的椭圆称为“优美椭圆”．设＋＝1(a>b>0)是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个端点，则∠ABF等于()A．60°B．75°C．90°D．120°[答案]C[解析]cos∠ABF＝＝＝＝＝0，∴∠ABF＝90°，选C.二、填空题7．一椭圆的短半轴长是2，离心率是，焦点为F1，F2，弦AB过F1，则△ABF2的周长为____________．[答案]12[解析] 离心率是，∴a＝3c，又有a2－c2＝b2＝8，∴(3c)2－c2＝8∴c2＝1，∴a2＝9，易知△ABF2的周长为4a，∴周长为12.8．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．[答案]＋＝1[解析]考查椭圆的定义与标准方程．设椭圆G的标准方程为＋＝1(a>b>0)，半焦距为c，则，∴，∴b2＝a2－c2＝36－27＝9，∴椭圆G的方程为＋＝1.三、解答题9．设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，短轴的一个顶点B与两焦点F1、F2组成的三角形的周长为4＋2，且∠F1BF2＝π，求椭圆方程．[解析]由题意知⇒⇒∴b2＝a2－c2＝1，∴椭圆方程为＋y2＝1.一、选择题1．设椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)的位置()A．必在圆x2＋y2＝2内B．必在圆x2＋y2＝2上C．必在圆x2＋y2＝2外D．以上三种情形都有可能[答案]A[解析]由e＝知＝，a＝2c.由a2＝b2＋c2得b＝c，代入ax2＋bx－c＝0，得2cx2＋cx－c＝0，即2x2＋x－1＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝<2.2．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是()A.B.C.D.[答案]A[解析]如图，△ABF2为正三角形，∴|AF2|＝2|AF1|，|AF2|＋|AF1|＝2a，|AF1|＝|F1F2|.∴|AF1|＝a，又|F1F2|＝2c，∴＝.∴＝.故选A.3．已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点M在该椭圆上，且MF1·MF2＝0，则点M到y轴的距离为()A.B.C.D.[答案]B[解析]由题意，得F1(－，0)，F2(，0)．设M(x，y)，则MF1·MF2＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝0，整理得x2＋y2＝3.①又因为点M在椭圆上，故＋y2＝1，即y2＝1－.②将②代入①，得x2＝2，解得x＝±.故点M到y轴的距离为.4．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点且PF1·PF2＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是()A．[，1)B．[，]C．[，]D．(0，][答案]C[解析]设P(m，n)，PF1·PF2＝c2＝(－c－m，－n)·(c－m，－n)＝m2－c2＋n2，∴m2＋n2＝2c2,2c2－m2＝n2①，把P(m，n)代入椭圆＋＝1，得b2m2＋a2n2＝a2b2②，把①代入②得m2＝≥0，∴a2b2≤2a2c2，∴b2≤2c2，∴a2≤3c2，∴e＝≥.又m2＝≤a2，∴a2≥2c2，∴e＝≤.综上知此椭圆离心率的取值范围是[，]，故选C.二、填空题5．已知椭圆的长轴长为20，离心率为，则该椭圆的标准方程为________．[答案]＋＝1或＋＝1[解析]因...
