立体几何中的空间角与距离（一）选择题（12*5=60分）1．直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于（）A．B．C．D．【答案】C2．下图是三棱锥的三视图，点在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线和所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．【答案】C3．直三棱柱中，底面是正三角形，三棱柱的高为，若是中心，且三棱柱的体积为，则与平面所成的角大小是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意设底面正的边长为，过作平面，垂足为，则点为底面的中心，故即为与平面所成角， ，，又 直三棱柱的体积为，∴由直棱柱体积公式得，解得，∴，∴，∴与平面所成的角为．故选：C．4．已知，为异面直线，下列结论不正确的是（）A．必存在平面使得B．必存在平面使得，与所成角相等C．必存在平面使得，D．必存在平面使得，与的距离相等【答案】C5．在直三棱柱中，，点是侧面内的一点，若与平面所成的角为，与平面所成的角也为，则与平面所成的角正弦值为（）A．B．C.D．【答案】B【解析】以为对角线作长方体，设与平面所成的角为，则，故.选B.6．【广东省深圳市2018学届11月】如图,在正方体中,棱长为1,分别为与的中点,到平面的距离为A.B.C.D.【答案】D7．【湖北省武汉市2018届部分学校联考】设点是棱长为2的正方体的棱的中点，点在面所在的平面内，若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等，则点到点的最短距离是（）A.B.C.1D.【答案】A【解析】设在平面上的射影为在平面上的射影为，平面与平面和平面成的锐二面角分别为，则，，设到距离为，则，即点在与直线平行且与直线距离为的直线上，到的最短距离为，故选A.8．【2018东北名校联考】已知正四棱锥中，分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】C9．如图，在直三棱柱中，，过的中点作平面的垂线，交平面于，则与平面所成角的正切值为（）A．B．C．D．【答案】C10.【四川省2018届期考】如图，四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，点在棱上，且，则平面与平面的夹角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】以B为坐标原点,分别以BC、BA、BP所在直线为x、y、z轴,建立空间直角坐标系，则，∴设平面BED的一个法向量为，则，取z=1,得，平面ABE的法向量为，∴.∴平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为.故选B.11．已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则直线与侧面所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．【答案】A12．如图四边形，，.现将沿折起，当二面角处于过程中，直线与所成角的余弦值取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D.（二）填空题（4*5=20分）13.【湖南师范大学附属中学2018届11月】如图，圆锥的高，底面⊙的直径，是圆上一点，且，为的中点，则直线和平面所成角的余弦值为__________．【答案】14．在正四棱锥中，，直线与平面所成角为，为的中点，则异面直线与所成角的大小为___________．【答案】【解析】如图，由题意易知，因为，所以为异面直线与所成角，又，中，，，得为等腰直角三角形，故异面直线与所成角为.15．【安徽省六安市一中2018届高第五次月考】已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，则三棱锥的外接球的球心到平面的距离为__________．【答案】【解析】 三棱锥中，∴顶点在底面ABC上的射影为的外心，又是以为斜边的等腰直角三角形，∴点为的中点．∴．如图，设点O为三棱锥外接球的球心，则的长即为外接球的球心到平面的距离．设球半径为，则．由题意得，，在中，有，即，解得，∴，即三棱锥的外接球的球心到平面的距离为．答案：16．已知四面体的每个顶点都在球的表面上，，，底面，为的重心，且直线与底面所成角的正切值为，则球的表面积为_________．【答案】(三)解答题（4*10=40分）17．如图，在四棱锥中，，，，．⑴求证：；⑵求点到平面的距离．18.在长方体中，，过、、三点的平面截去长方体的一个角后，得如图所示的几何体，且这个几何体的体积为.（1）求棱的长；（2）若的中点为，求异面直线与所成角的余弦值.【解析】（1）设，由题设，得，即，解得，故的长为.（2）连接，在长方体中，即为异面直线与所成的角（或其补角）,在中，计算可得，则的余弦值为.19.【2018河南名校联考...
