【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第2章几个重要的不等式学业分层测评7综合法与分析法北师大版选修4-5(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．要证明＋<2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是()A．综合法B．分析法C．比较法D．归纳法【解析】要证明＋<2成立，可采用分析法对不等式两边平方后再证明．【答案】B2．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是()A.
b2C.>D．a|c|>b|c|【解析】∵a>b，c2＋1>0，∴>，故选C.【答案】C3．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只需证()A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－≤0C.－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0【解析】a2＋b2－1－a2b2＝－(a2－1)(b2－1)≤0.【答案】D4．设a，b∈R，则“a＋b＝1”是“4ab≤1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若“a＋b＝1”，则4ab＝4a(1－a)＝－4＋1≤1；若“4ab≤1”，取a＝－4，b＝1，a＋b＝－3，即“a＋b＝1”不成立．故“a＋b＝1”是“4ab≤1”的充分不必要条件．【答案】A5．设a>b>0，m＝－，n＝，则()A．mnC．m＝nD．不能确定【解析】∵a>b>0，∴>，∴－>0，>b.2－()2＝a＋b－2－(a－b)＝2(b－)<0，∴(－)2<()2，∴－<，即m0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，若M＝··，则M的最小值为__________.1【导学号：94910022】【解析】M＝≥8···＝8，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．【答案】87．有以下四个不等式：①(x＋1)(x＋3)>(x＋2)2；②ab－b20；④a2＋b2≥2|ab|.其中恒成立的为__________(写出序号即可)．【答案】③④8．已知a>0，b>0且a＋b＝1，则＋＋与8的大小关系是__________．【解析】∵a>0，b>0且a＋b＝1，∴1＝a＋b≥2>0，进而得≥2，于是得≥4.又∵＋＋＝＝＝2·≥8.故得＋＋≥8.【答案】＋＋≥8三、解答题9．设a>0，b>0，c>0.证明：(1)＋≥；(2)＋＋≥＋＋.【证明】(1)∵a>0，b>0，∴(a＋b)≥2·2＝4，∴＋≥.(2)由(1)知＋≥.同理，＋≥，＋≥，三式相加，得：2≥＋＋，∴＋＋≥＋＋.10．如果a>b，ab＝1，求证：a2＋b2≥2(a－b)，并指明何值时取“＝”号．【证明】因为a>b，所以a－b>0，欲证a2＋b2≥2(a－b)，只需证≥2.因为a>b，a－b>0，又知ab＝1.所以＝＝＝(a－b)＋≥2＝2.所以≥2，即a2＋b2≥2(a－b)．当且仅当a－b＝，即a－b＝且ab＝1时，取等号．能力提升]1．设＜＜＜1，则()A．aa＜ab＜baB．aa＜ba＜abC．ab＜aa＜baD．ab＜ba＜aa【解析】∵＜＜＜1，∴0＜a＜b＜1，∴＝aa－b＞1，∴ab＜aa，＝∵0＜＜1，a＞0，∴＜1，∴aa＜ba，∴ab＜aa＜ba.故选C.2【答案】C2．若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ac＝1，则下列不等式成立的是()A．a2＋b2＋c2≥2B．(a＋b＋c)2≥3C.＋＋≥2D．abc(a＋b＋c)≤【解析】因为a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，将三式相加，得2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac，即a2＋b2＋c2≥1.又因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac，所以(a＋b＋c)2≥1＋2×1＝3.故B成立．【答案】B3．若不等式＋＋>0在条件a>b>c时恒成立，则实数λ的取值范围是________．【解析】不等式可化为＋>.∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0，∴λ<＋恒成立．∵＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，∴λ<4.故实数λ的取值范围是(－∞，4)．【答案】(－∞，4)4．已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋≥6，并确定a，b，c为何值时等号成立．【证明】因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得a2＋b2＋c2≥3(abc)，①＋＋≥3(abc)，所以2≥9(abc)，②故a2＋b2＋c2＋2≥3(abc)＋9(abc).又3(abc)＋9(abc)≥2＝6，③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．当且仅当3abc＝9(abc)时，③式等号成立．因此当且仅当a＝b＝c＝3时，等号成立．3
