第二章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1过点(0,1)且与抛物线y2=x只有一个公共点的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条解析:过(0,1)且与抛物线只有一个公共点的直线有2条切线和一条交线(y=1).答案:C2双曲线的焦点在y轴上,且它的一个焦点在直线5x-2y+20=0上,两焦点关于x轴对称,ca=53,则该双曲线的方程是()A.x236−y264=1B.x264−y236=1C.x236−y264=−1D.x264−y236=−1解析: 两焦点关于x轴对称,焦点在y轴,又焦点在直线5x+2y+20=0上,∴当x=0时,y=-10.∴c=10. ca=53,∴a2=36,b2=64.答案:D3已知双曲线x2a2−y2b2=1的一条渐近线方程为y=43x,则该双曲线的离心率为()A.53B.43C.54D.32解析:本题已知ba=43,不能直接求出a,c,可用整体代入变用公式.由e¿ca=√a2+b2a=√a2+b2a2=√1+b2a2=√1+k2¿k为渐近线的斜率).1这里ba=43,则e¿ca=√1+(43)2=53,故选A.答案:A4已知点F,A分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点、右顶点,点B(0,b)满足⃗FB·⃗AB=0,则双曲线的离心率为()A.√2B.√3C.1+√32D.1+√52解析: ⃗FB·⃗AB=0,∴FB⊥AB,∴b2=ac.又 b2=c2-a2,∴c2-a2-ac=0.两边同除以a2,得e2-1-e=0,∴e¿1+√52.答案:D5已知双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点在直线l:√3x+3y+12=0上,且其一条渐近线与直线l平行,则该双曲线的方程为()A.y248−x216=1B.y216−x248=1C.y212−x24=1D.y24−x212=1解析:依题意,双曲线焦点在y轴上,又直线l与y轴交点为(0,-4),所以双曲线焦点坐标为(0,±4),即c¿√a2+b2=4.又因为直线l斜率为−√33,因此ab=√33,解得a2=4,b2=12,故双曲线方程为y24−x212=1.答案:D26已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,−1),则该椭圆的方程为()A.x245+y236=1B.x236+y227=1C.x227+y218=1D.x218+y29=1解析:设A(x1,y1),B(x2,y2), A,B在椭圆上,∴{x12a2+y12b2=1,①x22a2+y22b2=1.②①-②,得(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0,即b2a2=−(y1+y2)(y1-y2)(x1+x2)(x1-x2). AB的中点为(1,-1),∴y1+y2=-2,x1+x2=2.而y1-y2x1-x2=kAB=0-(-1)3-1=12,∴b2a2=12.又 a2-b2=9,∴a2=18,b2=9.∴椭圆E的方程为x218+y29=1.故选D.答案:D7已知抛物线x2=4y的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,过P作PA⊥l于点A,当∠AFO=30°(O为坐标原点)时,|PF|=()A.43B.83C.2D.33解析:设l与y轴交于点B,在Rt△ABF中,∠AFB=30°,|BF|=2,所以|AB|¿2√33.设P(x0,y0),则x0=±2√33,于是y0¿13,从而|PF|=|PA|=y0+1¿43.答案:A8如图,F1,F2是椭圆C1:x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则双曲线C2的离心率是()A.√2B.√3C.32D.√62解析:在椭圆C1中,|AF1|+|AF2|=4,|F1F2|=2√3.又因为四边形AF1BF2为矩形,所以∠F1AF2=90°.所以|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,所以|AF1|=2−√2,∨AF2∨¿2+√2.所以在双曲线C2中,2c=2√3,2a=¿AF2∨−¿AF1∨¿2√2,故e¿ca=√3√2=√62,故选D.答案:D9如图,南北方向的公路l,A地在公路的正东2千米处,B地在A地北偏东60°方向2√3千米处,河流沿岸PQ(曲线)上任一点到公路l和到A地的距离相等.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向A,B两地转运货物,经测算从M到A,从M到B修建公路的费用均为a万元/千米,则修建这两条公路的总费用最低是()A.(2+√3¿a万元4B.(2√3+1)a万元C.5a万元D.6a万元解析:分别过点M,B,A作直线MM'⊥l,BB'⊥l,AA1⊥l,垂足分别为M',B',A1,过点B作BB1⊥AA1,垂足为B1.由已知,得|AB1|=|AB|cos30°=2√3×√32=3. |AA1|=2,∴|BB'|=3+2=5.又 |AM|=|MM'|,∴修路费用为(|AM|+|MB|)a=(|MM'|+|MB|)a≥|BB'|·a=5a(万元).答案:C10已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率的取值范围是[35,1),其左、右焦点分别为F1,F2,若P是椭圆上位于y轴右侧的一点,则|PF1||PF2|=()A.53B.3C.4D.5解析:依题意|PF1|>|PF2|,设|PF1||PF2|=λ(λ>1),则|PF1|=λ|PF2|.由椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a,因此|PF2|¿2aλ+1,又因为F2是右焦点,所以|PF2|≥a-c,因此2aλ+1≥a-c,整理得e≥λ-1λ+1,于是有λ-1λ+1=35,故λ=4.答案:C二...
