5.2.1含有绝对值的不等式的解法自我小测1已知集合A＝{x|x2－5x＋6≤0}，集合B＝{x||2x－1|＞3}，则集合A∩B＝________.2不等式3≤|5－2x|＜9的解集为________．3不等式|x＋3|－|x－3|＞3的解集是________．4不等式x2－2|x|－15＞0的解集是________．5解不等式|x2－2x|＜3.6解不等式：|x＋1|＋|x－1|≤1.7已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上是增函数，则不等式loga|x＋1|＞loga|x－3|的解集为________．8设函数f(x)＝|2x－1|＋x＋3，则f(－2)＝______；若f(x)≤5，则x的取值范围是______．9不等式4＜|3x－2|＜8的解集为__________．10设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|，如果对任意x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．11设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.(1)解不等式f(x)＞2；(2)求函数y＝f(x)的最小值．1参考答案1．{x|2＜x≤3}解析：A＝{x|2≤x≤3}，B＝{x|x＞2或x＜－1}∴A∩B＝{x|2＜x≤3}．2．(－2,1]∪[4,7)解析：⇒⇒解得不等式的解集为(－2,1]∪[4,7)．3．解析：当x≤－3时，－(x＋3)＋(x－3)＞3即－6＞3，不成立；当－3＜x＜3时，(x＋3)＋(x－3)＞3，即x＞，∴＜x＜3；当x≥3时(x＋3)－(x－3)＞3，即6＞3，∴x≥3.综上所述：.4．(－∞，－5)∪(5，＋∞)解析：∵x2－2|x|－15＞0.即|x|2－2|x|－15＞0.∴|x|＞5或|x|＜－3(舍去)．∴x＜－5或x＞5.5．解：解法一：由|x2－2x|＜3，得－3＜x2－2x＜3，所以x2－2x＋3＞0，且x2－2x－3＜0.因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＞0，所以x∈R.由x2－2x－3＜0，解得－1＜x＜3.所以原不等式的解集是{x|－1＜x＜3}．解法二：作函数y＝x2－2x的图象(略)，|x2－2x|＜3表示函数图象中在直线y＝－3和直线y＝3之间相应部分的自变量的集合，解方程x2－2x＝3，得x1＝－1，x2＝3.而x2－2x＝－3，无解．所以不等式的解集是{x|－1＜x＜3}．6．解：当x≤－1时，原不等式可化为－(x＋1)－(x－1)≤1，无解．当－1＜x＜1时，原不等式可化为x＋1－(x－1)≤1，解得2≤1，无解．当x≥1时，原不等式可化为x＋1＋x－1≤1，无解．综上，可知原不等式的解集为空集．7．{x|x＜1且x≠－1}解析：因为a＞0且a≠1，所以2－ax为减函数．又因为y＝loga(2－ax)在[0,1]上是增函数，∴0＜a＜1，则y＝logax为减函数．∴|x＋1|＜|x－3|，且x＋1≠0，x－3≠0，由|x＋1|＜|x－3|，得(x＋1)2＜(x－3)2，即x2＋2x＋1＜x2－6x＋9.解得x＜1.又x≠－1，且x≠3.所以解集为{x|x＜1且x≠－1}．8．6[－1,1]解析：f(－2)＝|2×(－2)－1|＋(－2)＋3＝6，|2x－1|＋x＋3≤5，即|2x－1|≤2－x，当2x－1≥0，即x≥时，2x－1≤2－x，则x≤1，故≤x≤1.当2x－1＜0，即x＜时，1－2x≤2－x，则x≥－1.故－1≤x＜.综上，x的取值范围是－1≤x≤1.9．解析：本题是由两个绝对值不等式构成的不等式组，可分别解出其解集，然后取交集即可．由4＜|3x－2|＜8，得⇒⇒∴－2＜x＜－或2＜x＜.2∴原不等式的解集为.10．解：若a＝1，则f(x)＝2|x－1|，不满足题设条件．若a＜1，则f(x)＝所以f(x)的最小值为1－a.若a＞1，则f(x)＝所以f(x)的最小值为a－1.所以对任意x∈R，f(x)≥2的充要条件是|a－1|≥2，从而a的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．11．解：(1)令y＝|2x＋1|－|x－4|，则y＝－x－5，x≤－，,3x－3，－＜x＜4，,x＋5，x≥4.作出函数y＝|2x＋1|－|x－4|的图象，它与直线y＝2的交点为(－7,2)和.所以|2x＋1|－|x－4|＞2的解集为(－∞，－7)∪.(2)由函数y＝|2x＋1|－|x－4|的图象可知，当x＝－时，y＝|2x＋1|－|x－4|取得最小值－.3
