第5课时全称命题和特称命题基础达标(水平一)1.已知命题p:∃x0∈R,+4x0+6<0,则⌝p为().A.∀x∈R,x2+4x+6≥0B.∃x0∈R,+4x0+6>0C.∀x∈R,x2+4x+6>0D.∃x0∈R,+4x0+6≥0【解析】因为特称命题的否定是将存在量词改成全称量词,然后否定结论,所以特称命题p:∃x0∈R,+4x0+6<0的否定是全称命题∀x∈R,x2+4x+6≥0,故选A.【答案】A2.下列命题是真命题的是().A.∀x∈R,(x-)2>0B.∀x∈Q,x2>0C.∃x0∈Z,3x0=812D.∃x0∈R,3-4=6x0【解析】选项A中,当x=时,不等式不成立,故该命题不是真命题.选项B中,当x=0时,不等式不成立,故该命题不是真命题.选项C中,x0=Z,∉故该命题不是真命题.选项D中,3-6x0-4=0的Δ=(-6)2+12×4>0,即方程有解,故该命题是真命题.【答案】D3.已知命题p:所有指数函数都是单调函数,则⌝p为().A.所有指数函数都不是单调函数B.所有单调函数都不是指数函数C.存在一个指数函数,它不是单调函数D.存在一个单调函数,它不是指数函数【解析】全称命题的否定是特称命题,则⌝p为“存在一个指数函数,它不是单调函数”,故选C.【答案】C4.命题“∃x0∈R,-ax0+1≤0”为假命题的一个充分不必要条件是().A.a∈(-2,1]B.a∈[-2,1)C.a∈(-2,2)D.a∈[-2,2]【解析】因为∃x0∈R,-ax0+1≤0为假命题,所以∀x∈R,x2-ax+1>0,所以Δ<0,即a2-4<0,解得-2
0”用“”或“”可表述为∃∀.【答案】∃x0<0,(1+x0)(1-9x0)>06.命题p:∃x0∈R,≤0,命题q:∀x∈,x>sinx,其中真命题是;命题p的否定是.【解析】由于∀x∈R,2x>0,因此命题p是假命题.由单位圆内的三角函数线可知在区间内,x>sinx恒成立.因此命题q是真命题.命题p的否定为∀x∈R,2x>0.【答案】q∀x∈R,2x>07.若x∈[-2,2],不等式x2+ax+3≥a恒成立,求实数a的取值范围.【解析】设f(x)=x2+ax+3-a,则问题转化为当x∈[-2,2]时,f(x)min≥0即可.当-<-2,即a>4时,f(x)在[-2,2]上单调递增,f(x)min=f(-2)=7-3a≥0,解得a≤,又a>4,所以a不存在.当-2≤-≤2,即-4≤a≤4时,f(x)min=f=≥0,解得-6≤a≤2.又-4≤a≤4,所以-4≤a≤2.当->2,即a<-4时,f(x)在[-2,2]上单调递减,f(x)min=f(2)=7+a≥0,解得a≥-7,又a<-4,所以-7≤a<-4.综上所述,实数a的取值范围是{a|-7≤a≤2}.拓展提升(水平二)8.下列命题中真命题的个数是().①∀x∈R,x4>x2;②若“p∧q”是假命题,则p,q都是假命题;③“∀x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R,-+1>0”.A.0B.1C.2D.3【解析】易知①当x=0时不成立,对于全称命题,只要有一个情况不满足,命题为假.②错误,两个命题中至少有一个为假即可.③正确,全称命题的否定是特称命题.所以只有1个命题是正确的,故选B.【答案】B9.已知命题p:∃x0∈R,+ax0+a<0,若命题p是假命题,则实数a的取值范围是().A.[0,4]B.(0,4)2C.(-∞,0)∪(4,+∞)D.(-∞,0]∪[4,+∞)【解析】命题p:∃x0∈R,+ax0+a<0的否定为命题⌝p:∀x∈R,x2+ax+a≥0.∵命题p为假命题,∴命题⌝p为真命题,即x2+ax+a≥0恒成立,∴Δ=a2-4a≤0,解得0≤a≤4.【答案】A10.若命题p:任意x∈R,关于x的不等式ax2+4x+a≥-2x2+1恒成立是真命题,则实数a的取值范围是.【解析】不等式可化为(a+2)x2+4x+a-1≥0,依题意得a+2>0,且Δ=16-4(a+2)(a-1)≤0,解得a≥2.【答案】[2,+∞)11.已知p:∀x∈R,2x>m(x2+1),q:∃x0∈R,+2x0-m-1=0,且p∧q为真,求实数m的取值范围.【解析】2x>m(x2+1)可化为mx2-2x+m<0.若p:∀x∈R,2x>m(x2+1)为真,则mx2-2x+m<0对任意的x∈R恒成立.当m=0时,不等式可化为-2x<0,显然不恒成立;当m≠0时,有m<0且Δ=4-4m2<0,所以m<-1.若q:∃x0∈R,+2x0-m-1=0为真,则方程+2x0-m-1=0有实根,所以Δ=4+4(m+1)≥0,所以m≥-2.又p∧q为真,故p,q均为真命题.所以m<-1且m≥-2,即实数m的取值范围是[-2,-1).3
