高中数学 第一章 坐标系 第2节 极坐标系 第2课时 极坐标和直角坐标的互化检测 北师大版选修4-4-北师大版高二选修4-4数学试题VIP免费

第一讲第二节第二课时极坐标和直角坐标的互化一、选择题(每小题5分，共20分)1．设点P对应的复数为－3＋3i，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为()A．B．C．D．解析：先把复数化为直角坐标，再化为极坐标．答案：A2．两点A，B的极坐标分别为，，则A，B两点间的距离为()A．B．C．D．解析：点A，B的极直角坐标分别为(1，)，(0,3)，则|AB|＝＝.答案：D3．在极坐标系中，两点P和Q，则PQ的中点的极坐标是()A．B．C．D．解析：先化直角坐标，再化为极坐标．∵P，∴∴P(1，)．∵Q，∴∴Q(－3，)．∴中点M的直角坐标为(－1，)．∴ρ2＝(－1)2＋()2＝4，∴ρ＝2.∴tanθ＝＝－，∴θ＝.∴中点M的极坐标为.答案：B4．已知点M的极坐标为，则点M关于y轴对称的点的直角坐标为()A．(－3，－3)B．(3，－3)C．(－3，3)D．(3，3)解析：∵点M的极坐标为，∴x＝6cos＝6cos＝6×＝3，y＝6sin＝6sin＝－6×＝－3，∴点M的直角坐标为(3，－3)，∴点M关于y轴对称的点的直角坐标为(－3，－3)．答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)5．限定ρ>0,0≤θ<2π时，若点M的极坐标与直角坐标相同，则点M的直角坐标为____1______________.解析：点M的极坐标为(ρ，θ)，设其直角坐标为(x，y)，依题意得ρ＝x，θ＝y，即x2＋y2＝x2，故y＝θ＝0，ρ>0，所以M(ρ，0)．答案：(ρ，0)6．已知，极坐标系的极点在直角坐标系中的坐标为(－，1)，方向与x轴正方向一致，则直角坐标系中的点(2，10)在极坐标系中的极坐标为__________________.解析：由题意可知∴tanθ＝，∴θ＝.ρ2＝[2－(－)]2＋(10－1)2＝108，∴ρ＝6.∴点(2，10)在新的极坐标系中的极坐标为.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)7.如图所示，已知△ABC三个顶点的极坐标分别为A，B，C，极点O(0,0)，(1)判断△OAB的形状；(2)求△ABC的面积．解析：所给各点的直角坐标分别为A(0,2)，B(－，1)，C，O(0,0)，(1)∵|AB|＝＝2，|OA|＝|OB|＝2，∴△OAB为等边三角形．(2)∵|AC|＝＝，|BC|＝＝，|AB|＝2，∴△ABC为等腰三角形．∵AB的中点为D，|CD|＝＝2，∴S△ABC＝|AB||CD|＝×2×2＝2.8．已知点P的直角坐标按伸缩变换变换为点P′(6，－3)，限定ρ>0,0≤θ<2π时，求点P的极坐标．解析：设点P的直角坐标为(x，y)，由题意得解得2∵点P的直角坐标为(3，－)，∴ρ＝＝2，tanθ＝，∵0≤θ<2π，点P在第四象限，∴θ＝，∴点P的极坐标为.☆☆☆9．(10分)如果点M的极坐标为(ρ，θ)，那么点M关于极点O的对称点M′可以表示为(－ρ，θ)．(1)试用点的极坐标化为直角坐标的公式验证上述表示的合理性；(2)已知点M的极坐标为，若限定ρ>0,0≤θ<2π，求点M的极坐标；(3)试问(ρ，θ)，(－ρ，π＋θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)是否都表示同一点的极坐标？解析：(1)由于点M(ρ，θ)关于极点的对称点为M′(ρ，θ＋π)，根据上述表示，点(－ρ，θ)与(ρ，θ＋π)应为同一点．设点M′的直角坐标为(x，y)，由点M′(ρ，θ＋π)得x＝ρcos(θ＋π)＝－ρcosθ，y＝ρsin(θ＋π)＝－ρsinθ，由M′(－ρ，θ)，得x＝－ρcosθ，y＝－ρsinθ，所以上述表示是合理的．(2)∵(－ρ，θ)与(ρ，θ＋π)表示同一点，∴与为同一点的极坐标，故点M的极坐标为.(3)由上述可知(ρ，θ)与(－ρ，π＋θ)为同一点，又由于(ρ，θ)与(ρ，2π＋θ)为同一点，(－ρ，π＋θ)与(－ρ，－π＋θ)为同一点，所以(ρ，θ)，(－ρ，θ＋π)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)都表示同一点的极坐标．3