2.3数学归纳法5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N*),验证n=1时等式的左边为（）A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3答案：C解析：当n=1时，左边=1+a+a2.2.用数学归纳法证明不等式+…+>(n≥2)的过程中，由n=k递推到n=k+1时不等式左边（）A.增加了一项B.增加了两项C.增加了B中的两项但减少了一项D.以上均不正确答案：C解析：在n=k+1时，用k+1替换n,再与n=k时比较.3.用数学归纳法证明“1+++…+1)”时，由n=k(k>1)不等式成立,推证n=k+1时，左边应增加的项数是（）A.2k-1B.2k-1C.2kD.2k+1答案：C解析：增加的项数为(2k+1-1)-(2k-1)=2k+1-2k=2k.4.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形的对角线条数f(n+1)与f(n)之间的关系为_________.解析：设凸n+1边形为A1A2……AnAn+1,连结A1An,则凸n+1边形的对角线是由凸n边形A1A2…An的对角线再加A1An,以及从An+1点出发的n-2条对角线,即f(n+1)=f(n)+1+n-2=f(n)+n-1.答案：f(n+1)=f(n)+n-110分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.若命题A（n）（n∈N*），n=k(k∈N*)时命题成立，则有n=k+1时命题成立.现知命题对n=n0(n0∈N*)时命题成立，则有（）A.命题对所有正整数都成立B.命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C.命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D.以上说法都不正确答案：C2.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n-1=2n-1（n∈N*）”的过程中，第二步n=k时等式成立，则1当n=k+1时应得到（）A.1+2+22+…+2k-2+2k-1=2k+1-1B.1+2+22+…+2k+2k+1=2k-1+2k+1C.1+2+22+…+2k-1=2k+1-1D.1+2+22+…+2k-1+2k=2k-1+2k答案：D3.已知数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列.（1）求和:a1-a2+a3=____________;a1-a2+a3-a4=____________.(2)由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论为________________________________.解析：（1）a1-a2+a3=a1-2a1q+a1q2=a1(1-q)2,a1-a2+a3-a4=a1-3a1q+3a1q2-a1q3=a1(1-q)3.(2)归纳猜想：左边结构为a1-a2+a3-a4+…+(-1)nan+1nnC,右边为a1(1-q)n.答案：(1)a1(1-q)2a1(1-q)3(2)a1-a2+a3-a4+…+(-1)nan+1=a1(1-q)n4.使|n2-5n+5|=1不成立的最小的正整数是____________.解析:n=1、2、3、4代入验证成立，而n=5验证不成立.答案:55.用数学归纳法证明命题“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，在验证n=1正确后，归纳假设应写成____________.解析:第k个奇数为2k-1.答案:假设n=2k-1(k∈N+)时命题成立6.已知Sn=1+++…+(n>1,n∈N*),求证:>1+(n≥2,n∈N*).证明:(1)当n=2时,nS2=1+++=1225>1+2,即n=2时命题成立.(2)设n=k时命题成立,即=1+++…+>1+,当n=k+1时,=1+++…+++…+>1++>1++=1++=1+,故当n=k+1时,命题成立.由(1)(2)知,对n∈N*,n≥2,>1+都成立.30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）21.设f(n)=1++++…+12n-1，则f(k+1)-f(k)等于（）A.B.++C.+D.+++…+答案：D解析:n=k时，f(k)=1+++…+.n=k+1时,f(k+1)=1+++…+++…+.∴f(k+1)-f(k)=++…+.2.如果命题p(n)对n=k成立，则它对n=k+2也成立.若p(n)对n=2也成立，则下列结论正确的是（）A.p(n)对所有正整数n都成立B.p(n)对所有正偶数n都成立C.p(n)对所有正奇数n都成立D.p(n)对所有自然数n都成立答案：B3.用数学归纳法证明（n+1）(n+2)·…·（n+n）=2n·1·3·…·（2n-1）(n∈N*),从“k到k+1”左端需增乘的代数式为（）A.2k+1B.2(2k+1)C.D.答案：B4.若f(n)=1+++…+(n∈N*),则n=1时，f(n)是（）A.1B.C.1++D.非以上答案答案：C5.数列{an}中,a1=2,an+1=(n∈N*).依次计算a2、a3、a4后归纳、猜想出an的表达式为______________.解析:容易求得a2=,a3=,a4=.∴an=.答案:an=6.证明1++…+>(n∈N*)，假设n=k时成立，当n=k+1时，左端增加的项有______________项.解析:2k+1-1-2k+1=2k.3答案:2k7.数列{an}满足Sn=2n-an,先计算数列的前4项，后猜想an并证明之.解:由a1=2-a1,得a1=1,由a1+a2=2×2-a2,得a2=.由a1+a2+a3=2×3-a3,得a3=.由a1+a2+a3+a4=2×4-a4,得a4=.猜想an=.下面证明猜想正确.(1)当n=1时，由上面的计算可知猜想是成立的.(2)假设当n=k时猜想成立，那么ak=,此时Sk=2k-ak=2k.当n=k+1时,由Sk+1=2(k+1)-...
