课时分层训练(四十七)椭圆A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为()A．4B．3C．2D．5A[由题意知，在△PF1F2中，|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.]2．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为()A.B.C.D.B[原方程化为＋＝1(m>0)，∴a2＝，b2＝，则c2＝a2－b2＝，则e2＝，∴e＝.]3．(2017·盐城模拟)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.－＝1B.＋＝1C.－＝1D.＋＝1D[设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，∴M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为＋＝1，故选D.]4．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，若P为椭圆上的任意一点，则OP·FP的最大值为()【导学号：51062287】A．2B．3C．6D．8C[由题意知，O(0,0)，F(－1,0)，设P(x，y)，则OP＝(x，y)，FP＝(x＋1，y)，∴OP·FP＝x(x＋1)＋y2＝x2＋y2＋x.又 ＋＝1，∴y2＝3－x2，∴OP·FP＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2. －2≤x≤2，∴当x＝2时，OP·FP有最大值6.]5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为()A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋＝1A[ ＋＝1(a>b>0)的离心率为，∴＝.又 过F2的直线l交椭圆于A，B两点，△AF1B的周长为4，∴4a＝4，∴a＝，∴b＝，1∴椭圆方程为＋＝1.]二、填空题6．(2017·绍兴质检)已知椭圆：＋＝1(0b>0)，由题意可知，|OF|＝c，|OB|＝b，∴|BF|＝a. ∠OFB＝，∴＝，a＝2b.∴S△ABF＝·|AF|·|BO|＝(a－c)·b＝(2b－b)b＝2－，解得b2＝2，则a＝2b＝2.∴所求椭圆的方程为＋＝1.]8．如图854，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________.【导学号：51062288】图854[将y＝代入椭圆的标准方程，得＋＝1，所以x＝±a，故B，C.又因为F(c,0)，所以BF＝，CF＝.因为∠BFC＝90°，所以BF·CF＝0，所以＋2＝0，即c2－a2＋b2＝0，将b2＝a2－c2代入并化简，得a2＝c2，所以e2＝＝，所以e＝(负值舍去)．]三、解答题9．如图855所示，F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.图855(1)求椭圆C的离心率；2(2)已知△AF1B的面积为40，求a，b的值．【解】(1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，a＝2c，所以e＝.7分(2)法一：a2＝4c2，b2＝3c2，直线AB的方程为y＝－(x－c)，将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，得B，10分所以|AB|＝·＝c.12分由S△AF1B＝|AF1|·|AB|·sin∠F1AB＝a·c·＝a2＝40，解得a＝10，b＝5.15分法二：设|AB|＝t.因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a.10分由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t，再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos60°可得，t＝a.13分由S△AF1B＝a·a·＝a2＝40知，a＝10，b＝5.15分10．设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.[解](1)由题设条件知，点M的坐标为，2分又kOM＝，从而＝.进而a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.6分(2)证明：由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得NM＝.8分又AB＝(－a，b)，从而有AB·NM＝－a2＋b2＝...
