高中数学 第三章 空间向量与立体几何章末复习课 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学试题VIP专享VIP免费

【金版学案】2016-2017学年高中数学第三章空间向量与立体几何章末复习课新人教A版选修2-1[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．几种空间向量之间的区别与联系(1)a与其相反向量－a为共线向量(平行向量)．(2)相等向量为共线向量(平行向量)，但共线向量(平行向量)不一定为相等向量．(3)若两个非零向量共线，则这两个向量所在的直线可能平行，也可能重合，空间中任意两个向量都是共面的，这些概念一定要准确理解．2．向量的数量积运算与实数的乘法运算的不同点(1)a·b＝0a＝0或b＝0.(2)a·c＝a·bc＝b.(3)(a·b)ca·(b·c)(4)a·b＝ka＝.3．向量共线充要条件及注意点(1)对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)注意点：l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP＝OA＋ta.(3)坐标表示下的向量平行条件．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，这一形式不能等价于＝＝，只有在向量b与三个坐标轴都不平行时才可以这样写．4．向量共面充要条件及注意点(1)若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(2)注意点：①空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使AP＝xAB＋yAC；1②空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足向量关系式OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x＋y＋z＝1)，则点P与点A，B，C共面．5．利用向量法求空间角的注意事项(1)利用向量法求空间角时，要注意空间角的取值范围与向量夹角取值范围的区别．例如，若△ABC的内角∠BAC＝θ，则BA与AC夹角为π－θ，而非θ.(2)特别地，二面角的大小等于其法向量的夹角或其补角，到底等于哪一个，要根据题目的具体情况看二面角的大小．(3)对所用的公式要熟练，变形时运用公式要正确并注意符号等细节，避免出错．专题一空间向量及其运算空间向量及其运算的知识与方法与平面向量及其运算类似，是平面向量的拓展，主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算，是用向量法求解立体几何问题的基础．[例1]沿着正四面体OABC的三条棱OA、OB、OC的方向有大小等于1、2和3的三个力f1，f2，f3.试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦值．解：如图所示，用a，b，c分别代表棱OA、OB、OC上的三个单位向量，则f1＝a，f2＝2b，f3＝3c，则f＝f1＋f2＋f3＝a＋2b＋3c，所以|f|2＝(a＋2b＋3c)(a＋2b＋3c)＝|a|2＋4|b|2＋9|c|2＋4a·b＋6a·c＋12b·c＝14＋4cos60°＋6cos60°＋12cos60°＝14＋2＋3＋6＝25，所以|f|＝5，即所求合力的大小为5.且cos〈f，a〉＝＝＝＝，同理可得：cos〈f，b〉＝，cos〈f，c〉＝.归纳升华空间向量的运算有加、减、数乘和数量积的运算，有三角形法则、平行四边形法则、首尾相接的多边形法则，通过这些运算可以对向量多项式进行化简、整理、求值，可以用来解决共线、共面、平行、垂直等问题，向量运算是解决数学问题的重要工具，应该熟练掌握，灵活运用．在不利于建立空间直角坐标系的情况下，选择恰当的基底，通过基向量的运算解决数学问题是十分有效的数学方法，应当高度重视．[变式训练]如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论：①SA＋SB＋SC＋SD＝0；②SA＋SB－SC－SD＝0；③SA－SB＋SC－SD＝0；④SA·SB＝SC·SD；⑤SA·SC＝0.其中正确结论的序号是________．2解析：容易推出：SA－SB＋SC－SD＝BA＋DC＝0，所以③正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以SA·SB＝2×2×cos∠ASB，SC·SD＝2×2×cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是SA·SB＝SC·SD，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.答案：③④专题二利用空间向量证明空间中的位置关系用向量作为工具来研究几何，真正把几何的形与代数中的数有机结合，给立体几何的研究带来了极大的便利．利用空间向量可以方便地论证空间中的一些线面位置关系，如线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等．[例2]正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，...