三平面与圆锥面的截线课时过关·能力提升基础巩固1已知圆锥的顶角为50°,圆锥的截面与轴线所成的角为30°,则截线是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析由已知α=50°2=25°,β=30°,β>α,故截线是椭圆,故选B.答案B2已知平面π与圆锥的轴线平行,圆锥母线与轴线夹角为60°,则平面与圆锥交线的离心率是()A.2B.12C.√32D.2√3解析设平面与轴线夹角为β,母线与轴线夹角为α,由题意,知β=0°,α=60°,故e=cosβcosα=112=2.答案A3若以圆锥曲线的焦点弦为直径的圆和相应准线相切,则这样的圆锥曲线是()A.不存在的B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析由圆锥曲线的定义知截线是抛物线,应选D.答案D4已知双曲线的两条准线把两个焦点所连线段三等分,则它的离心率为()A.√2B.√3C.√62D.2√3解析设双曲线的实轴长为2a,虚轴长为2b,焦距为2c.由题意知2c=2a2c·3,故e=√3.1答案B5已知圆锥母线与轴夹角为60°,平面π与轴夹角为45°,则平面π与圆锥交线的离心率是,该曲线的形状是.解析∵e=cos45°cos60°=√2>1,∴曲线为双曲线.答案√2双曲线6设圆锥面是由直线l'绕直线l旋转而得,l'与l交点为V,l'与l的夹角为α(0°<α<90°),不经过圆锥顶点V的平面π与圆锥面相交,设轴l与平面π所成的角为β,则当时,平面π与圆锥面的交线为圆;当时,平面π与圆锥面的交线为椭圆;当时,平面π与圆锥面的交线为双曲线;当时,平面π与圆锥面的交线为抛物线.答案β=90°α<β<90°β<αβ=α7一圆锥面的母线和轴线成30°角,当用一个与轴线成30°角的不过顶点的平面去截圆锥面时,所截得的截线是.解析由题意知β=30°,α=30°,则β=α.则截线是抛物线,如图.答案抛物线8已知一圆锥面S的轴线为Sx,轴线与母线的夹角为30°,在轴上取一点O,使SO=3cm,球O与这个锥面相切,求球O的半径和切点圆的半径.解如图,OH=12SO=32cm,2HC=OHsin60°=32×√32=3√34(cm).所以球O的半径为32cm,切点圆的半径为3√34cm.能力提升1已知双曲线两个焦点的距离为10,双曲线上任一点到两个焦点距离之差的绝对值为6,则双曲线的离心率为()A.35B.45C.1D.53解析设双曲线的实轴长为2a,虚轴长为2b,焦距为2c.由题意知,2c=10,2a=6,故e=ca=53.答案D2线段AB是抛物线的焦点弦,F为焦点.若点A,B在抛物线准线上的正射影分别为点A1,B1,则∠A1FB1等于()A.45°B.60°C.90°D.120°解析如图,由抛物线定义,知AA1=AF,∴∠AA1F=∠AFA1.又AA1∥EF,∴∠AA1F=∠A1FE,∴∠AFA1=∠A1FE,3∴FA1是∠AFE的平分线.同理,FB1是∠BFE的平分线,∴∠A1FB1=12∠AFE+12∠BFE=12(∠AFE+∠BFE)=90°.答案C3如图,F1,F2是椭圆C1:x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是()A.√2B.√3C.32D.√62解析椭圆C1中,|AF1|+|AF2|=4,|F1F2|=2√3.又因为四边形AF1BF2为矩形,所以∠F1AF2=90°.所以|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,解得|AF1|=2-√2,|AF2|=2+√2.所以在双曲线C2中,2c=2√3,2a=|AF2|-|AF1|=2√2,故e=ca=√3√2=√62,故选D.答案D4已知椭圆两条准线间的距离为20,长轴长为10,则短轴长为.解析设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c.由{2a=10,2a2c=20,得a=5,c=52,则2b=2√a2-c2=5√3.4答案5√35已知一平面与圆柱面的母线成45°角,平面与圆柱面的截线椭圆的长轴长为6,则圆柱面内切球的半径为.解析由2a=6,得a=3.又e=cos45°=√22,∴c=e·a=√22×3=3√22.∴b=√a2-c2=√32-92=3√22.∴圆柱面内切球的半径r=3√22.答案3√226如图,抛物线的焦点为F,顶点为A,准线为l,过点F作PF⊥AF.求证:AF=12PF.证明如图,过点P作PB⊥l于点B.由抛物线的定义知PB=PF,AH=AF,又HF=BP,故AF=12HF=12BP=12PF.5★7如图,已知圆锥母线与轴的夹角为α,平面π与轴线夹角为β,Dandelin球的半径分别为R,r,且α<β,R>r,求平面π与圆锥面交线的焦距F1F2,轴长G1G2.分析由β>α知截线为椭圆,通过数形结合转化到相应平面上求解.解连接O1F1,O2F2,O1O2交F1F2于点O,在Rt△O1F1O中,OF1=O1F1tan∠O1OF1=rtanβ.在Rt△O2F2O中,OF2=O2F2tan∠O2OF2=Rtanβ.则F1F2=OF1+OF2=R+rtanβ.同理,O1O2=R+rsinβ.连接O1A1,O2A2,过O1作O1H⊥O2A2.在Rt△O1O2H中,O1H=O1O2·cosα=R+rsinβ·cosα.又O1H=A1A2,由切线定理,容易验证G1G2=A1A2,故G1G2=R+rsinβ·cosα.67
