直线常用解题技巧举隅直线是解析几何的基础,虽然平时学习时感觉比较简单,但它所涉及的内容丰富多彩,解题方法灵活多样,不仅需要我们认真体会,而且还要牢固掌握.现举几例,供读者参考.一、结构联想,构造转化例1.求的最小值.分析：一些同学常把两个无理式的最小值的和当作y的最小值，显然是错误的，因为这两个函数式的最小值是在不同的x处取得的，联想到两点间的距离公式，则可把原命题转化变形如下：则二根式可作为点Ｐ（x,0）分别到点Ａ（－１，－１）,B(2,2)的距离,因为P、A、B三点共线,于是最小值问题就转化为线段的长度问题.解:在直角坐标系xOy中,设点P、A、B的坐标分别为(x,0),(-1,-1),(2,2)则:二、合理选择，快速解答例2．△ABC的三个顶点A（-3，0），B（2，1），C（-2，3）.求①BC所在直线的方程;②BC边上中线AD所在直线方程;③BC边的垂直平分线DE的方程.解:①因为直线BC经过B(2,1)和C(-2,3)两点,由两点式得BC的方程:.②设BC中点D的坐标为(x1,y1),则边的中线AD过点A(-3,0),D(0,2)两点,由截距式得AD所在直线方程为.③BC的斜率,则BC的垂直平分线DE的斜率.由斜截式得直线DE的方程为.评注:直线方程有多种形式,一般情况下,利用任何一种形式都可求出直线方程(不满足条件的除外),但是如果选择恰当,解答会更加迅速,本题中的三个小题,分别依条件选择了三种不同形式的直线方程,应该掌握.三、设而不求,简化计算例3.一直线被两直线截得的线段的中点恰好是坐标原点,求该直线方程.解:设所求直线与l1、l2的交点分别是A、B,设A(x0,y0),由于AB关于原点对称,∴B(-x0,-y0)又∵A、B分别在l1、l2上,①+②:,即点A在直线上,又直线过原点∴直线l的方程为.四、数形结合,查缺补漏用心爱心专心例4.在两条平行直线之间作一条直线,使它与这两条平行直线的距离的比为1:3,求这条直线的方程.解:设所求直线方程为,则又由图象可知,直线在已知两平行直线之外,舍去,所求直线为.五、一题多解,开阔思路例5.已知三角形的三个顶点是A(4,1),B(7,5),C(-4,7).求△ABC的∠A的平分线所在直线方程.分析1:如图,设∠A的平分线交BC于D,欲求AD的方程,只须求出点D坐标.解法1.由及内角平分线性质定理知:,故可求得点D().∴∠A平分线所在直线的方程为.分析2:利用l1到l2的交角公式,求直线AD的斜率k.解法2.由解得.故所求直线方程为.分析3:利用夹角平分线上任意一点到角的两边等距离,转化为求轨迹方程问题.(解略)六、同构变换,综合化归例6.直线l过点M(2,1),且分别交x轴、y轴的正半轴于A、B,O为坐标原点.①求当△AOB的面积最小时,l的方程;②当取最小值时,l的方程.分析:直线l与x轴、y轴相交,斜率存在,可设直线l的点斜式方程.解:①设可得:当且仅当时,△AOB的面积有最小值4,此时l的方程为②.∴当且仅当时,取得最小值4,这时l的方程为用心爱心专心
