3.1.3导数的几何意义一、选择题1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是()A．在点x0处的斜率B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹的锐角的正切值C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率D．点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率[答案]C[解析]由导数的几何意义可知函数y＝f(x)在x＝x0的导数f′(x0)，即为曲线在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．2．曲线y＝x3在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为()A．(－2，－8)B．(1,1)，(－1，－1)C．(2,8)D．(－，－)[答案]B[解析] y＝x3，∴y′＝lim＝lim＝lim(Δx2＋3x·Δx＋3x2)＝3x2.令3x2＝3，得x＝±1，∴点P的坐标为(1,1)，(－1，－1)．3．曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为()A．y＝x－1B．y＝－x＋1C．y＝2x－2D．y＝－2x＋2[答案]A[解析] f′(x)＝lim＝lim＝lim(Δx2＋3x·Δx＋3x2－2)＝3x2－2，∴f′(1)＝3－2＝1，∴切线的方程为y＝x－1.4．已知曲线f(x)＝x2＋2x的一条切线斜率是4，则切点的横坐标为()A．－2B．－1C．1D．2[答案]D[解析]Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)2＋2(x＋Δx)－x2－2x＝x·Δx＋(Δx)2＋2Δx，∴＝x＋Δx＋2，∴f′(x)＝lim＝x＋2.设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝x0＋2.由已知x0＋2＝4，∴x0＝2，故选D．5．曲线y＝x3－2在点(－1，－)处切线的倾斜角为()A．30°B．45°C．135°D．60°[答案]B[解析]Δy＝(－1＋Δx)3－×(－1)3＝Δx－Δx2＋Δx3，＝1－Δx＋Δx2，lim＝lim(1－Δx＋Δx2)＝1，∴曲线y＝x3－2在点处切线的斜率是1，倾斜角为45°.6．设f(x)为可导函数且满足lim＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为()A．2B．－1C．1D．－2[答案]B[解析]lim＝lim＝lim＝f′(1)＝－1.二、填空题7．已知函数f(x)＝x3＋2，则f′(2)＝________.[答案]12[解析]f′(2)＝lim＝lim＝lim[4＋4Δx＋(Δx)2＋4＋2Δx＋4]＝lim[12＋6Δx＋(Δx)2]＝12.8．设函数y＝f(x)，f′(x0)>0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的倾斜角的范围是________.[答案](0，)[解析]由于f′(x0)>0，说明y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率大于0，故倾斜角为锐角．9．若抛物线y＝x2与直线2x＋y＋m＝0相切，则m＝________.[答案]1[解析]设切点为P(x0，y0)，易知，y′|x＝x0＝2x0.由，得，即P(－1,1)，又P(－1,1)在直线2x＋y＋m＝0上，故2×(－1)＋1＋m＝0，即m＝1.三、解答题10．直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切．(1)求切点的坐标；(2)求a的值．[解析](1)设直线l与曲线C相切于P(x0，y0)点．f′(x)＝lim＝lim＝3x2－2x.由题意知，k＝1，即3x－2x0＝1，解得x0＝－或x0＝1.于是切点的坐标为或(1,1)．(2)当切点为时，＝－＋a，a＝；当切点为(1,1)时，1＝1＋a，a＝0(舍去)．∴a的值为，切点坐标为(－，)．一、选择题1．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于()A．1B．C．－D．－1[答案]A[解析] y′|x＝1＝lim＝lim＝lim(2a＋aΔx)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.2.已知函数y＝f(x)的图象如图，f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()A．0>f′(xA)>f′(xB)B．f′(xA)f′(xB)>0[答案]B[解析]f′(xA)和f′(xB)分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率，故f′(xA)
