高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式（第3课时）自我小测 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP专享VIP免费

1.1不等式3自我小测1．设x，y，z＞0且x＋y＋z＝6，则lgx＋lgy＋lgz的取值范围是()A．(－∞，lg6]B．(－∞，3lg2]C．[lg6，＋∞)D．[3lg2，＋∞)2．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列不等式正确的是()A．V≥πB．V≤πC．V≥πD．V≤π3．若实数x，y满足xy＞0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是()A．1B．2C．3D．44．已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为()A．3B．2C．12D．125．若a＞b＞0，则a＋的最小值为()A．0B．1C．2D．36．函数y＝4sin2x·cosx的最大值为________，最小值为________．7．若正数x，y满足xy2＝4，则x＋2y的最小值为________．8．已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，对于下列不等式：①abc≤；②≥27；③a2＋b2＋c2≥；④ab＋bc＋ca≤.其中正确不等式的序号是________．9．如图(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器的容积最大值．10．已知a，b，c均为正数，证明a2＋b2＋c2＋2≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．1参考答案1．解析：∵lgx＋lgy＋lgz＝lg(xyz)，而xyz≤3＝23，∴lgx＋lgy＋lgz≤lg23＝3lg2，当且仅当x＝y＝z＝2时，取等号．答案：B2．解析：如图，设圆柱半径为R，高为h，则4R+2h=6，即2R+h=3.32π·πππ3RRhVShRhRRh，当且仅当R=R=h=1时取等号．答案：B3．解析：xy＋x2＝xy＋xy＋x2≥3＝3＝3＝3.当且仅当xy＝x2，即x＝1，y＝2时取等号．答案：C4．解析：∵2x＞0,4y＞0,8z＞0，∴2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z≥3＝3＝3×4＝12.当且仅当2x＝22y＝23z，即x＝2，y＝1，z＝时，取等号．答案：C5．解析：∵a＋＝(a－b)＋b＋≥3＝3，当且仅当a＝2，b＝1时取等号，∴a＋的最小值为3.答案：D6．解析：∵y2＝16sin2x·sin2x·cos2x＝8(sin2x·sin2x·2cos2x)≤83＝8×＝，∴y2≤，当且仅当sin2x＝2cos2x，即tanx＝±时取等号．∴ymax＝，ymin＝－.答案：－7．解析：∵xy2＝4，x＞0，y＞0，∴x＝，∴x＋2y＝＋2y＝＋y＋y≥3＝3.当且仅当＝y，即x＝y＝时等号成立，此时x＋2y的最小值为3.答案：38．解析：∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴1＝a＋b＋c≥3，0＜abc≤3＝，≥27.从而①正确，②也正确，又1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≤a2＋b2＋c2＋(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)＝3(a2＋b2＋c2)，∴a2＋b2＋c2≥，从而③正确，又2＝2(a＋b＋c)2＝(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)＋4ab＋4bc＋4ca≥2ab＋2bc＋2ca＋4ab＋4bc＋4ca＝6(ab＋bc＋ca),0＜ab＋bc＋ca≤＝，∴④正确．答案：①②③④9．解：设正六棱柱容器底面边长为x(x＞0)，高为h，由下图可有233hx，2∴312hx，2233336(1)422VShxhxx底3323(1)222xxx311229=33xxx.当且仅当122xxx，即23x时，等号成立．所以当底面边长为23时，正六棱柱容器的容积最大，为13.10．证明：因为a，b，c均为正数，由算术几何平均不等式，得222233abcabc，①131113abcabc，所以231119abcabc.②故a2＋b2＋c2＋2223339abcabc.又223339abcabc≥2＝6，③当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．当且仅当223339abcabc时，③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c143时，原式等号成立．所以原不等式成立．3