高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式专题检测试卷 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP专享VIP免费

第三讲柯西不等式与排序不等式专题检测试卷(三)(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．设a1≤a2≤a3…≤an，b1≤b2≤b3…≤bn为两组实数，在排序不等式中，顺序和，反序和，乱序和的大小关系为()A．反序和≥乱序和≥顺序和B．反序和＝乱序和＝顺序和C．反序和≤乱序和≤顺序和D．反序和、乱序和、顺序和大小关系不确定答案C2．已知m2＋n2＝2，t2＋s2＝8，则|mt＋ns|的最大值为()A．2B．4C．8D．16答案B解析∵(m2＋n2)(t2＋s2)≥(mt＋ns)2，∴(mt＋ns)2≤2×8＝16，∴|mt＋ns|≤4.当且仅当ms＝nt时，等号成立．3．已知a，b，c为正数，则(a＋b＋c)的最小值为()A．1B.C．3D．4答案D解析(a＋b＋c)＝[()2＋()2]≥2＝22＝4，当且仅当a＋b＝c时取等号．4．设a，b，c为正数，a＋b＋4c＝1，则＋＋2的最大值是()A.B.C．2D.答案B解析1＝a＋b＋4c＝()2＋()2＋(2)2＝[()2＋()2＋(2)2]·(12＋12＋12)≥(＋＋2)2·，∴(＋＋2)2≤3，即当且仅当a＝b＝4c时等号成立．5．函数f(x)＝＋cosx，则f(x)的最大值是()1A.B.C．1D．2答案A解析由f(x)＝＋cosx，得f(x)＝＋cosx≤＝.当且仅当cosx＝时取等号.6．设a，b，c均为实数，则的最大值为()A.B.C.D.答案B解析由(a2＋2b2＋3c2)≥2，即(a2＋2b2＋3c2)·≥(a＋b＋c)2，∴≤.∴≤.7．已知a，b，x1，x2∈R＋，ab＝1，x1＋x2＝2，则M＝(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)与4的大小关系是()A．M＞4B．M＜4C．M≥4D．M≤4答案C解析(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)＝[()2＋()2]·[()2＋()2]≥[(x1＋x2)]2＝(x1＋x2)2＝4.8．已知x＋y＋z＝1，则2x2＋3y2＋z2的最小值为()A.B.C.D.答案D解析∵(2x2＋3y2＋z2)·≥(x＋y＋z)2＝1，∴2x2＋3y2＋z2≥.当且仅当＝＝时，等号成立．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)9．函数y＝5＋的最大值为__________．答案6解析由柯西不等式，得y＝5＋·≤·＝×2＝6，当且仅当5＝，即x＝时，等号成立．10．如图，在矩形OPAQ中，a1≤a2，b1≤b2，则阴影部分的矩形面积之和________空白部分的矩形面积之和．2答案≥解析由题图可知，阴影部分的面积等于a1b1＋a2b2，而空白部分的面积等于a1b2＋a2b1，根据顺序和≥反序和可知，答案为≥.11．已知0＜x＜1,0＜y＜1，则函数f(x)＝＋的最小值是________．答案解析由三角不等式，得＋≥＝.当且仅当x＝1－x，y＝1－y，即x＝，y＝时，等号成立．故f(x)的最小值为.12．设a＝(－2,1,2)，|b|＝6，则a·b的最小值为______，此时b＝________.答案－18(4，－2，－4)解析根据柯西不等式的向量形成，有|a·b|≤|a||b|，∴|a·b|≤×6＝18.当且仅当存在实数k，使a＝kb时，等号成立．∴－18≤a·b≤18.∴a·b的最小值为－18，此时b＝－2a＝(4，－2，－4)．三、解答题(本大题共6小题，每小题10分，共60分)13．设a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝9，求＋＋的最小值．解∵(a＋b＋c)＝[()2＋()2＋()2]·≥2＝18，当且仅当a＝b＝c＝3时等号成立．∴＋＋≥2，∴＋＋的最小值为2.14．(2017·江苏)已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明：ac＋bd≤8.证明由柯西不等式，得(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)，因为a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，所以(ac＋bd)2≤64，因此ac＋bd≤8.15．已知二次三项式f(x)＝ax2＋bx＋c的所有系数均为正数，且a＋b＋c＝1，求证：对于任何正数x1，x2，当x1x2＝1时，必有f(x1)f(x2)≥1.证明f(x1)f(x2)＝(ax＋bx1＋c)·(ax＋bx2＋c)≥[a()2＋b＋c]2＝f2()＝f2(1)＝1.故f(x1)f(x2)≥1.316．已知x2＋2y2＋3z2＝，求3x＋2y＋z的最小值．解(x2＋2y2＋3z2)·≥2＝(3x＋2y＋z)2，∴(3z＋2y＋z)2≤(x2＋2y2＋3z2)·＝12，∴－2≤3x＋2y＋z≤2，当且仅当x2＝9y2＝81z2，即x＝－，y＝－，z＝－时取“＝”．∴3x＋2y＋z的最小值为－2.17．求三个实数x，y，z，使得它们同时满足下列方程：2x＋3y＋z＝13,4x2＋9y2＋z2－2x＋15y＋3z＝82.解将两个方程相加，得(2x)2＋(3y＋3)2＋(z＋2)2＝108，①又第一个方程可变形为2x＋(3y＋3)＋(z＋2)＝18，②由①②及柯西不等式，得(2x)2＋(3y＋3)2＋(z＋2)2≥[2x＋(3y＋3)＋(z＋2)]2，即108≥×182＝108，即柯西不等式中的等号成立．所以2x＝3y＋3＝z＋2＝6，故x＝3，y＝1，z＝4.18．设x，y，z∈R，且＋＋＝1，求x＋y＋z的取值范围．解由柯西不等式，得[42＋()2＋22]·≥2＝(x＋y＋z)2，即25×1≥(x＋y＋z)2.∴|x＋y＋z|≤5，∴－5≤x＋y＋z≤5.∴x＋y＋z的取值范围是[－5,5]．4