高中数学 第三章 空间向量与立体几何阶段质量检测A卷（含解析）新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学试题VIP专享VIP免费

第三章空间向量与立体几何(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本题共10小题，每小题6分，共60分)1．设l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m等于()A．1B．2C.D．3解析：选B若l1⊥l2，则a⊥b，∴a·b＝0，∴1×(－2)＋2×3＋(－2)×m＝0，解得m＝2.2．已知a，b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B若l⊥α，则l与a，b所在的直线垂直，∴c⊥a，c⊥b，∴c·a＝0，c·b＝0，是必要条件； a≠b，∴当a与b同向(或反向)时，由c·a＝0且c·b＝0可以推出c⊥a且c⊥b，但不能推出l⊥α，不是充分条件．3．已知向量i，j，k是一组单位正交向量，m＝8j＋3k，n＝－i＋5j－4k，则m·n＝()A．7B．－20C．28D．11解析：选C因为m＝(0,8,3)，n＝(－1,5，－4)，所以m·n＝0＋40－12＝28.4．已知二面角αlβ的大小为，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为()A.B.C.D.解析：选B设m，n的方向向量分别为m，n.由m⊥α，n⊥β知m，n分别是平面α，β的法向量． |cos〈m，n〉|＝cos＝，∴〈m，n〉＝或.但由于两异面直线所成的角的范围为，故异面直线m，n所成的角为.5．已知空间四个点A(1,1,1)，B(－4,0,2)，C(－3，－1,0)，D(－1,0,4)，则直线AD与平面ABC的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选A设n＝(x，y,1)是平面ABC的一个法向量． AB＝(－5，－1,1)，AC＝(－4，－2，－1)，∴∴∴n＝.又AD＝(－2，－1,3)，设AD与平面ABC所成的角为θ，1(A卷学业水平达标)则sinθ＝＝＝，∴θ＝30°.6．在以下命题中，不正确的个数为()①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP＝2OA－2OB－OC，则P，A，B，C四点共面；④若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底；⑤|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.A．2B．3C．4D．5解析：选C①|a|－|b|＝|a＋b|⇒a与b共线，但a与b共线时|a|－|b|＝|a＋b|不一定成立，故不正确；②b需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确．7．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选C设向量a＋b与c的夹角为α，因为a＋b＝(－1，－2，－3)，|a＋b|＝，cosα＝＝，所以α＝60°.因为向量a＋b与a的方向相反，所以a与c的夹角为120°.8．在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k分别是x轴、y轴、z轴的方向向量，设a为非零向量，且〈a，i〉＝45°，〈a，j〉＝60°，则〈a，k〉＝()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选C如图所示，设|a|＝m(m＞0)，a＝OP，PA⊥平面xOy，则在Rt△PBO中，|PB|＝|OP|·sin〈a，i〉＝m，在Rt△PCO中，|OC|＝|OP|·cos〈a，j〉＝，∴|AB|＝，在Rt△PAB中，|PA|＝＝＝，∴|OD|＝，在Rt△PDO中，cos〈a，k〉＝＝.又 0°≤〈a，k〉≤180°，∴〈a，k〉＝60°.9．在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为()2A.B.C.D.解析：选C取DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，可求得平面AB1D1的法向量为n＝(2，－2,1)．故A1到平面AB1D1的距离为d＝＝.10．三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为正三角形，侧棱长等于底面边长，A1在底面的射影是△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于()A.B.C.D.解析：选B如图，设A1点在底面ABC内的射影为点O，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设△ABC边长为1，则A，B1，∴AB1＝.平面ABC的法向量n＝(0,0,1)，则AB1与底面ABC所成角α的正弦值为sinα＝|cos〈AB1，n〉|＝＝.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)11．已知a＝(3λ，6，λ＋6)，b＝(λ＋1,3,2λ)为两平行平面的法向量，则λ＝________.解析：由题意知a∥b，∴＝＝，解得λ＝2.答案：212．若a＝(2,3，－1)，b＝(－2,1,3)，则以a，b为邻...