第4课时椭圆的简单几何性质基础达标(水平一)1.已知椭圆+=1的焦距为4,则m等于().A.4B.8C.4或8D.以上均不对【解析】①当椭圆的焦点在x轴上时,10-m-(m-2)=4,解得m=4;②当椭圆的焦点在y轴上时,m-2-(10-m)=4,解得m=8.故选C.【答案】C2.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,以线段F1F2为边作正△MF1F2,若边MF1的中点在此椭圆上,则此椭圆的离心率为().A.B.-1C.D.-1【解析】如图,由题意知△F1PF2为直角三角形,∠PF2F1=30°,又|F1F2|=2c,所以|PF1|=c,|PF2|=c,所以2a=|PF1|+|PF2|=(1+)c,所以===-1.【答案】D3.若将一个椭圆绕中心旋转90°,所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆的方程中,是“对偶椭圆”的方程的是().A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】由题意,当b=c时,将一个椭圆绕中心旋转90°,所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,即该椭圆为“对偶椭圆”.只有选项A中的b=c=2符合题意.【答案】A14.设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过点F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是().A.B.C.2-D.-1【解析】设椭圆焦点在x轴上,点P在x轴上方,则其坐标为,因为△F1PF2为等腰直角三角形,所以|PF2|=|F1F2|,即=2c,即b2=2ac,a2-c2=2ac,等式两边同除以a2,化简得1-e2=2e,解得e=-1,故选D.【答案】D5.经过点(2,-3)且与椭圆9x2+4y2=36有共同焦点的椭圆方程为.【解析】椭圆9x2+4y2=36可化为+=1,则它的两个焦点分别为(0,-),(0,).设所求椭圆的方程为+=1(λ>0).又该椭圆过点(2,-3),所以+=1,解得λ=10或λ=-2(舍去).所以所求椭圆的方程为+=1.【答案】+=16.椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A、B,左、右焦点分别是F1、F2.若|AF1|、|F1F2|、|F1B|成等比数列,则该椭圆的离心率为.【解析】∵A、B分别为左、右顶点,F1、F2分别为左、右焦点,∴|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|BF1|=a+c.又由|AF1|、|F1F2|、|F1B|成等比数列,得(a-c)(a+c)=4c2,即a2=5c2,∴离心率e=.【答案】27.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率e=,连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设A,B是直线l:x=2上不同的两点,若·=0,求|AB|的最小值.【解析】(1)由题意得解得所以椭圆C的标准方程为+=1.(2)由(1)知,点F1(-,0),F2(,0),设直线l:x=2上不同的两点A,B的坐标分别为A(2,y1),B(2,y2),则=(-3,-y1),=(-,-y2),由·=0得y1y2+6=0,即y2=-,不妨设y1>0,则|AB|=|y1-y2|=y1+≥2,当y1=,y2=-时取等号,所以|AB|的最小值是2.拓展提升(水平二)8.设F1,F2分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的左,右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为().A.B.C.D.【解析】3设直线x=与x轴交于点M,则∠PF2M=60°,在Rt△PF2M中,|PF2|=|F1F2|=2c,|F2M|=-c,故cos60°===,解得=,故离心率e=.【答案】C9.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知A、B1、B2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的右、下、上顶点,F是椭圆C的右焦点.若B2F⊥AB1,则椭圆C的离心率是.【解析】由题意得-·=-1⇒b2=ac⇒a2-c2=ac1⇒-e2=e,又0b>0)的右焦点为F2(3,0),离心率为e.(1)若e=,求椭圆的方程.(2)设直线y=kx与椭圆相交于A,B两点,M,N分别为线段AF2,BF2的中点.若坐标原点O在以MN为直径的圆上,且
