2016-2017学年高中数学第4章定积分1定积分的概念课后演练提升北师大版选修2-2一、选择题1．已知f(x)＝x3－x＋sinx，则f(x)dx的值为()A．等于0B．大于0C．小于0D．不确定解析：易知f(x)为奇函数，由奇函数的性质f(x)dx＝－f(x)dx，而f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＝0.答案：A2．已知曲线y＝f(x)在x轴下方，则由y＝f(x)，y＝0，x＝－1和x＝3所围成的曲边梯形的面积S可表示为()A.f(x)dxB.f(x)dxC．－f(x)dxD．－f(x)dx解析：因为f(x)位于x轴下方，故f(x)＜0.∴f(x)dx＜0，故上述曲边梯形的面积为－f(x)dx.答案：C3．定积分(－)dx等于()A．4πB．2πC．－2πD．－4π解析：(－)dx表示半圆x2＋y2＝4(y≤0)的面积的相反数，∴(－)dx＝－2π.答案：C4．如图所示，所给图形的面积S的相应表达式中，正确的为()S＝[f(x)－g(x)]dxS＝(2x－2x＋8)dx①②S＝f(x)dx－f(x)dxS＝[g(x)－f(x)]dx＋[f(x)－g(x)]dx③④A．①②B．①③C．②④D．③④解析：①应为S＝[f(x)－g(x)]dx弄错了上下限．②应为S＝2dx＋(2x－2x＋8)dx.答案：D二、填空题5．若cosxdx＝1，则由x＝0，x＝π，f(x)＝sinx及x轴围成的图形的面积为____．1解析：由正弦函数与余弦函数的图像，知f(x)＝sinx，x∈[0，π]的图像与x轴围成的图形的面积，等于g(x)＝cosx，x∈的图像与x轴围成的图形的面积的2倍，所以答案应为2.答案：26．若g(x)dx＝3，f(x)dx＝1，f(x)dx＝－2，则[f(x)＋g(x)]dx＝_________.解析：[f(x)＋g(x)]dx＝f(x)dx＋g(x)dx＝f(x)dx－f(x)dx＋3＝6.答案：6三、解答题7．化简下列各式，并画出各小题所表示面积的图形：(1)x2dx＋－2x2dx；(2)(1－x)dx＋(x－1)dx.解析：(1)x2dx＋x2dx＝x2dx，所表示面积的图形如图：(2)(1－x)dx＋(x－1)dx＝|1－x|dx，它所表示面积的图形如图：8．利用定积分的几何意义和性质求值：(1)(－x3)dx；(2)(sinx－2)dx；(3)已知f(x)＝，求f(x)在区间[0,5]上的定积分．解析：(1)如图(1)，由定积分的几何意义得dx＝＝，x3dx＝0，由定积分性质得(－x3)dx＝dx－x3dx＝.(2)如图(2)，由定积分的几何意义得sinxdx＝0，由定积分的性质得(sinx－2)dx＝sinxdx－21dx＝0－2＝－2π.2(3)如图(3)，由定积分的几何意义得xdx＝A1＝×2×2＝2，(4－x)dx＝A2＝×(1＋2)×1＝，dx＝A3＝×2×1＝1.∴f(x)dx＝xdx＋(4－x)dx＋dx＝2＋＋1＝.9．已知f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，f(x)dx＝－2，求a、b、c的值．解析：由f(－1)＝2，得a＋(－b)＋c＝2①f′(x)＝2ax＋b，f′(0)＝0，∴b＝0②f(x)dx＝(ax2＋bx＋c)dx＝ax2dx＋bxdx＋cdx＝ax2dx＋bxdx＋cdx＝alim＋blim＋clim＝alim＋blim＋c＝a·＋b·＋c＝a＋b＋c＝－2③由①、②、③可解得a＝6，b＝0，c＝－4.3
