中难提分突破特训(三)1．绿水青山就是金山银山．某山村为做好水土保持，退耕还林，在本村的山坡上种植水果，并推出山村游等旅游项目．为预估今年7月份游客购买水果的情况，随机抽样统计了去年7月份100名游客的购买金额．分组如下：[0,20)，[20,40)，…，[100,120]，得到如图所示的频率分布直方图：(1)请用抽样的数据估计今年7月份游客人均购买水果的金额(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)若把去年7月份购买水果不低于80元的游客，称为“水果达人”．填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系？水果达人非水果达人合计男10女30合计参考公式和数据：K2＝，n＝a＋b＋c＋d.临界值表：P(K2≥k0)0.1500.1000.0500.0100.005k02.0722.7063.8416.6357.8791解(1)x＝(10×0.005＋30×0.0075＋50×0.010＋70×0.0125＋90×0.010＋110×0.005)×20＝62.估计今年7月份游客人均购买水果的金额为62元．(2)列联表如下：水果达人非水果达人合计男104050女203050合计3070100K2＝≈4.762>3.841，因此有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系．2．已知函数f(x)＝2sinxsin.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)锐角△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，角A的平分线交BC于D，直线x＝A是函数f(x)图象的一条对称轴，AD＝BD＝2，求边a.解(1)∵f(x)＝2sinxsin，∴f(x)＝2sinxsinx·＋2sinxcosx·＝＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋.令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.即函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2)∵x＝A是函数f(x)图象的一条对称轴，∴2A－＝＋kπ，k∈Z.∴A＝＋，k∈Z.又△ABC是锐角三角形，∴A＝.在△ABD中，∠BAD＝，BD＝，AD＝2，由正弦定理，得＝，∴sinB＝.∴B＝.∴C＝π－－＝.∠CDA＝＋＝.∴AC＝AD＝2.在△ABC中，由正弦定理，得＝，∴BC＝a＝.3.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD＝AD＝2，点M在2线段PC上，且PM＝3MC，O，N，Q分别为BD，AD，PA的中点．(1)求证：OQ∥平面PBC；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥P－NBM的体积．解(1)证明：如图，连接AC，则AC与BD交于点O，易知OQ为△APC的中位线，所以OQ∥PC，又OQ⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，所以OQ∥平面PBC.(2)因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PA＝PD，N为AD的中点，所以PN⊥AD，所以PN⊥平面ABCD，所以PN⊥NB.又四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD＝AD＝2，所以PN＝NB＝，所以S△PNB＝××＝，又BN⊥AD，PN⊥AD，BN∩PN＝N，所以AD⊥平面PNB，AD∥BC，所以BC⊥平面PNB，又PM＝3MC，所以V三棱锥P－NBM＝V三棱锥M－PBN＝V三棱锥C－PBN＝××2×＝，即三棱锥P－NBM的体积为.4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C的极坐标方程；(2)若直线l1，l2的极坐标方程分别为θ＝(ρ∈R)，θ＝(ρ∈R)，设直线l1，l2与曲线C3的交点为O，M，N，求△OMN的面积．解(1)由参数方程(θ为参数)，得普通方程为x2＋(y－2)2＝4，所以C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－4ρsinθ＝0，即ρ＝4sinθ.(2)不妨设直线l1：θ＝(ρ∈R)与曲线C的交点为O，M，则ρM＝|OM|＝4sin＝2，又直线l2：θ＝(ρ∈R)与曲线C的交点为O，N，则ρN＝|ON|＝4sin＝2.又∠MON＝，所以S△OMN＝|OM|·|ON|＝×2×2＝2.5．已知函数f(x)＝|3x＋2|.(1)解不等式：f(x)<4－|x－1|；(2)已知m>0，n>0，m＋n＝1，若对任意的x∈R，m>0，n>0，不等式|x－a|－f(x)≤＋(a>0)恒成立，求正数a的取值范围．解(1)由题意得不等式为|3x＋2|＋|x－1|<4.①当x≥1时，原不等式化为4x＋1<4，解得x<，不符合题意；②当－
－，∴－0，n>0，m＋n＝1，∴＋＝(m＋n)＝2＋＋≥2＋2＝4.当且仅当＝且m＋n＝1，m>0，n>0，即m＝n＝时等号成立，∴min＝4.由题意得|x－a|－|3x＋2|≤4(a>0)恒成立，①当x≥a时，可得x－a－3x－2≤4恒成立，即－a≤2x＋6恒成立，∴－a≤(2x＋6)min＝2a＋6，由a>0，可得上式显然成立；②当－，∴a≤；③当x≤－时，可得a－x＋3x＋2≤4恒成立，即a≤2－2x恒成立，∴a≤(2－2x)min＝.综上可得0
