题组层级快练(六十)1．已知集合A＝{(x，y)|－＝1，x，y∈R}，B＝{(x，y)|－＝1，x，y∈R}，则A∩B中元素的个数为()A．0B．1C．2D．3答案B解析集合A表示双曲线，顶点为(±3，0)，其渐近线方程为±＝0，集合B表示直线，与x轴的交点为(3，0)，且与其中一条渐近线平行，与双曲线有且只有一个交点，所以A∩B中元素的个数为1.故选B.2．直线l过点(，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条答案C解析该点为双曲线的顶点，与双曲线相切的直线有一条，与渐近线平行的直线有两条，共3条．3．已知F1，F2是双曲线－y2＝1的左、右焦点，P，Q为右支上的两点，直线PQ过F2且倾斜角为α，则|PF1|＋|QF1|－|PQ|的值为()A．8B．2C．4D．随α的大小而变化答案C解析由双曲线定义知：|PF1|＋|QF1|－|PQ|＝|PF1|＋|QF1|－(|PF2|＋|QF2|)＝(|PF1|－|PF2|)＋(|QF1|－|QF2|)＝4a＝4.4．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为()A.B．2C．4D．8答案C解析抛物线y2＝16x的准线方程是x＝－4，所以点A(－4，2)在等轴双曲线C：x2－y2＝a2(a>0)上，将点A的坐标代入得a＝2，所以C的实轴长为4.5．若直线x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则m的值为()A．±B．±2C．±1D．±答案C解析设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．由得x2－2mx－m2－2＝0(Δ>0)，∴x0＝＝m，y0＝x0＋m＝2m， 点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝5上，∴m2＋(2m)2＝5，∴m＝±1.6．(2019·山东青岛二模)直线l：x－2y－5＝0过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点且与其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－y2＝1D．x2－＝1答案A解析根据题意，令y＝0，则x＝5，则c＝5.又＝，所以a2＝20，b2＝5，所以双曲线的方程为－＝1.7．已知直线y＝kx＋1与双曲线x2－＝1交于A，B两点，且|AB|＝8，则实数k的值为()A．±B．±或±C．±D．±答案B解析由直线与双曲线交于A，B两点，得k≠±2.将y＝kx＋1代入x2－＝1得(4－k2)x2－2kx－5＝0，则Δ＝4k2＋4(4－k2)×5>0，k2<5.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－，所以|AB|＝·＝8，解得k＝±或±.8．(2019·东北三校一模)已知双曲线－＝1，过其右焦点F的直线交双曲线于P，Q两点，PQ的垂直平分线交x轴于点M，则的值为()A.B.C.D.答案B解析依题意，将直线PQ特殊化为x轴，于是有点P(－3，0)，Q(3，0)，M(0，0)，F(5，0)，＝.9．(2019·宁夏银川第二中学统练)过双曲线x2－＝1的右支上一点P，分别向圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为()A．10B．13C．16D．19答案B解析由题意可知|PM|2－|PN|2＝(|PC1|2－4)－(|PC2|2－1)，因此，|PM|2－|PN|2＝|PC1|2－|PC2|2－3＝(|PC1|－|PC2|)·(|PC1|＋|PC2|)－3＝2(|PC1|＋|PC2|)－3≥2|C1C2|－3＝13，故选B.10．(2017·天津)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1答案B解析由F(－c，0)，P(0，4)，得kPF＝＝，又e＝，所以e＝＝＝，所以a＝b，c＝4，故a2＝b2＝8，故选B.11．(2019·长沙调考)过双曲线－＝1(b>a>0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C，若A，B，C三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为()A.B.C.D.答案C解析由题意可知，经过右顶点A的直线方程为y＝－x＋a，联立解得x＝.联立解得x＝.因为b>a>0，所以<0，且>0，又点B的横坐标为等比中项，所以点B的横坐标为，则a·＝()2，解得b＝3a，所以双曲线的离心率e＝＝＝.12．(2019·山西省实验中学质量监测)若直线l与双曲线－y2＝1相切于点P，l与双曲线的两条渐近线分别交于M，N两点，则OM·ON的值为()A．3B．4C．5D．与点P的位置有关答案A解析设切点P的坐标为(x0，y0)，则切线l的方程为x0x－y0y＝1.由双曲线的方程，得两条渐近线的方程分别为y＝x，y＝－x.分别联立切线方程和渐近线方程，得M(，)，N(，)，...
