1.2.2圆周角定理课时过关·能力提升1.下列结论错误的是()A.圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半B.圆心角的度数等于它所对弧的度数C.相等的圆周角所对的弧相等D.90°的圆周角所对的弦是直径答案:C2.如图,CD是☉O的直径,A,B是☉O上的两点,若∠ABD=20°,则∠ADC的度数为()A.40°B.50°C.60°D.70°解析:∵∠ABD=∠ACD,∴∠ACD=20°.又CD是☉O的直径,∴∠CAD=90°.∴∠ADC=90°-∠ACD=90°-20°=70°.答案:D3.已知点P,Q,R在弦AB的同侧,且点P在AB⏜上,点Q在AB⏜所在的圆内,点R在AB⏜所在的圆外(如图),则()A.∠AQB<∠APB<∠ARBB.∠AQB<∠ARB<∠APBC.∠APB<∠AQB<∠ARBD.∠ARB<∠APB<∠AQB解析:如图,延长AQ交圆O于点C,设AR与圆O相交于点D,连接BC,BD,1则有∠AQB>∠ACB,∠ADB>∠ARB.因为∠ACB=∠APB=∠ADB,所以∠AQB>∠APB>∠ARB.答案:D★4.如图,在☉O中,∠AOB=160°,则∠D+∠E=()A.170°B.160°C.100°D.80°解析:如图所示,连接CO,则有∠AOC+∠BOC=360°-∠AOB=360°-160°=200°.又∠ADC=12∠AOC,∠BEC=12∠BOC,∴∠ADC+∠BEC=12(∠AOC+∠BOC)=100°,即∠D+∠E=100°.答案:C5.如图,已知△ABC内接于☉O,AB=AC,D为BC上一点,E是直线AD和☉O的交点,则AB2等于()A.AC·BCB.AD·AEC.AD·DED.BD·DC解析:如图,连接BE.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵∠ACB=∠AEB,2∴∠ABC=∠AEB.又∵∠BAE=∠DAB,∴△ABD∽△AEB.∴AB∶AE=AD∶AB,即AB2=AD·AE.答案:B6.如图,点A,B,C是圆O上的点,且∠ACB=30°,则∠AOB等于.解析:∵∠ACB=30°,∴∠AOB=2∠ACB=60°.答案:60°7.AB是半圆O的直径,点C在半圆上,CD⊥AB于点D,且AD=3BD,则CDAD=.解析:如图,连接AC,BC,则∠ACB=90°.设BD=k,则AD=3k.∵CD⊥AB,∴CD2=AD·BD=3k2.∴CD=√3k.∴CDAD=√33.答案:√338.如图,AB为☉O的直径,弦AC,BD交于点P,若AB=3,CD=1,则sin∠APD=.解析:由于AB为☉O的直径,则∠ADP=90°,所以△APD是直角三角形.则sin∠APD=ADAP,cos∠APD=PDAP.由题意知,∠DCP=∠ABP,∠CDP=∠BAP,所以△PCD∽△PBA.所以PDAP=CDAB,又AB=3,CD=1,则PDAP=13.所以cos∠APD=13.3又sin2∠APD+cos2∠APD=1,所以sin∠APD=2√23.答案:2√23★9.如图,☉O是△ABC的外接圆,D是AC⏜的中点,BD交AC于点E.(1)求证:CD2=DE·DB;(2)若CD=2√3,O到AC的距离为1,求☉O的半径.分析(1)转化为证明△BCD与△CED相似;(2)作出点O到AC的距离,利用勾股定理列出方程求解.(1)证明由已知,得∠ABD=∠CBD.∵∠ECD=∠ABD,∴∠CBD=∠ECD.又∠BDC=∠CDE,∴△BCD∽△CED.∴DECD=CDDB,即CD2=DE·DB.(2)解:连接OD交AC于点F,连接OC.∵D是AC⏜的中点,∴OD⊥AC,垂足为点F.在Rt△CFO中,OF=1,设☉O的半径OC=R,∴CF=√OC2-OF2=√R2-1.在Rt△CFD中,DC2=CF2+DF2,∴(2√3)2=(R2-1)+(R-1)2,整理得R2-R-6=0,解得R=3或R=-2(舍去),∴R=3,即☉O的半径为3.410.足球场上有句顺口溜:“冲向球门跑,越近就越好;沿着球门跑,射点要选好.”可见踢足球是有“学问”的.如图,在足球比赛中,甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻,当甲带球冲到点A时,乙已跟随冲到点B,此时甲直接射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好?分析用数学方法从两点静止的状态来考虑.如果两个点到球门的距离相差不大,要确定较好的射门位置,关键是看这两点各自对球门MN的张角大小,当张角较小时,容易被对方守门员拦截.解:如图,连接MB,MA,NA,NB,MA交圆于点C,连接NC,则∠MBN=∠MCN.∵∠MCN>∠MAN,∴∠MBN>∠MAN.∴甲应该迅速将球回传给乙,让乙射门好.5
