第十一节导数与函数的单调性函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)上一定有f′(x)>0.()(2)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则函数f(x)在此区间上没有单调性．()(3)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充要条件．()[答案](1)×(2)√(3)×2．函数y＝x2－lnx的单调递减区间为()A．(－1,1]B．(0,1]C．[1，＋∞)D．(0，＋∞)B[函数y＝x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－＝，令y′≤0，则可得0＜x≤1.]3．(教材改编)如图2111所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是()图2111A．函数f(x)在区间(－3,0)上是减函数B．函数f(x)在区间(1,3)上是减函数C．函数f(x)在区间(0,2)上是减函数D．函数f(x)在区间(3,4)上是增函数A[当x∈(－3,0)时，f′(x)＜0，则f(x)在(－3,0)上是减函数．其他判断均不正确．]4．设f(x)＝x－sinx，则f(x)()A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数B[因为f′(x)＝1－cosx≥0，所以函数为增函数，排除选项A和C.又因为f(0)＝01－sin0＝0，所以函数存在零点，排除选项D，故选B.]5．若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是()A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)D[由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增⇔f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k≥，而0<<1，所以k≥1，即k的取值范围为[1，＋∞)．]判断或证明函数的单调性已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)．试讨论f(x)的单调性．[解]f′(x)＝3x2＋2ax，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝－.2分当a＝0时，因为f′(x)＝3x2≥0，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；6分当a＞0时，x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0，x∈时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在，(0，＋∞)上单调递增，在上单调递减；10分当a＜0时，x∈(－∞，0)∪时，f′(x)＞0，x∈时，f′(x)＜0，12分所以函数f(x)在(－∞，0)，上单调递增，在上单调递减.15分[规律方法]用导数证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)一求．求f′(x)；(2)二定．确认f′(x)在(a，b)内的符号；(3)三结论．作出结论：f′(x)＞0时为增函数；f′(x)＜0时为减函数．易错警示：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．[变式训练1]设函数f(x)＝ax2－a－lnx，g(x)＝－，其中a∈R，e＝2.718…为自然对数的底数．(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x>1时，g(x)>0.【导学号：51062078】[解](1)由题意得f′(x)＝2ax－＝(x>0).2分当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减．当a>0时，由f′(x)＝0有x＝，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；6分当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增.10分(2)证明：令s(x)＝ex－1－x，则s′(x)＝ex－1－1.12分当x>1时，s′(x)>0，所以ex－1>x，从而g(x)＝－>0.15分求函数的单调区间设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．[解](1)因为f(x)＝xea－x＋bx，所以f′(x)＝(1－x)ea－x＋b.2分2依题设，即解得6分(2)由(1)知f(x)＝xe2－x＋ex.由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x＞0知，f′(x)与1－x＋ex－1同号.10分令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1.所以，当x∈(－∞，1)时，g′(x)<0，g(x)在区间(－∞，1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增.12分故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g(x)>0，x∈(－∞，＋∞)．综上可知，f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)，故f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞).15分[规律方法]求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)；(3)在定义域内解不等式f′(x)＞0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f′(x)＜0，得单调递减区间...
