2010~2014年高考真题备选题库第8章平面解析几何第5节椭圆1.(2014辽宁，5分)已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________.解析：取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，故有|GF1|＝|AN|，|GF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12.答案：12.2．(2014江苏，5分)在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．解析：因为圆心(2，－1)到直线x＋2y－3＝0的距离d＝＝，所以直线x＋2y－3＝0被圆截得的弦长为2＝.答案：3.(2014辽宁，12分)圆x2＋y2＝4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图)．(1)求点P的坐标；(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：y＝x＋交于A，B两点．若△PAB的面积为2，求C的标准方程．解：(1)设切点坐标为(x0，y0)(x0>0，y0>0)，则切线斜率为－，切线方程为y－y0＝－(x－x0)，即x0x＋y0y＝4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S＝··＝.由x＋y＝4≥2x0y0知当且仅当x0＝y0＝时x0y0有最大值，即S有最小值，因此点P的坐标为(，)．(2)设C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)．由点P在C上知＋＝1，并由得b2x2＋4x＋6－2b2＝0，又x1，x2是方程的根，因此由y1＝x1＋，y2＝x2＋，得|AB|＝|x1－x2|＝·.由点P到直线l的距离为及S△PAB＝××|AB|＝2得b4－9b2＋18＝0，解得b2＝6或3，因此b2＝6，a2＝3(舍)或b2＝3，a2＝6.从而所求C的方程为＋＝1.4.(2014江西，5分)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________．解析：由题意知F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝，因为过F2且与x轴垂直的直线为x＝c，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A，B.因为AB平行于y轴，且|F1O|＝|OF2|，所以|F1D|＝|DB|，即D为线段F1B的中点，所以点D的坐标为，又AD⊥F1B，所以kAD·kF1B＝－1，即×＝－1，整理得b2＝2ac，所以(a2－c2)＝2ac，又e＝，0b>0)，由题意知解得a＝，b＝1，因此椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)(ⅰ)当A，B两点关于x轴对称时，设直线AB的方程为x＝m，由题意得－0，所以t＝2或t＝.(ⅱ)当A，B两点关于x轴不对称时，设直线AB的方程为y＝kx＋h，将其代入椭圆的方程＋y2＝1，得(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由判别式Δ>0可得1＋2k2>h2，此时x1＋x2＝－，x1x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2h＝，所以|AB|＝＝2··.因为点O到直线AB的距离d＝，所以S△AOB＝·|AB|·d＝×2··＝··|h|.又S△AOB＝，所以··|h|＝.③令n＝1＋2k2，代入③整理得3n2－16h2n＋16h4＝0，解得n＝4h2或n＝h2，即1＋2k2＝4h2或1＋2k2＝h2.④又＝t＝t(＋)＝t(x1＋x2，y1＋y2)＝，因为P为椭圆C上一点，所以t22＋2＝1，即＝1.⑤将④代入⑤得t2＝4或t2＝.又t>0，所以t＝2或t＝.经检验，符合题意．综合(ⅰ)(ⅱ)得t...
