3柱坐标系和球坐标系1.点P的柱坐标为,则其直角坐标为()A.(5,8,8)B.(8,8,5)C.(8,8,5)D.(4,8,5)解析:∵ρ=16,θ=,z=5,∴x=ρcosθ=8,y=ρsinθ=8,z=5.∴点P的直角坐标是(8,8,5).答案:B2.点M的直角坐标为(,1,-2),则它的球坐标为()A.B.C.D.解析:设M的球坐标为(r,φ,θ),则解得答案:A3.设点M的直角坐标为(-1,-,2),则它的柱坐标是()A.B.C.D.解析:设点M的柱坐标为(r,θ,z),则tanθ=.∵0≤θ<2π,x<0,1∴θ=π,r==2,z=2.∴点M的柱坐标为.答案:B4.已知点P的柱坐标为,点B的球坐标为,则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为()A.P(5,1,1),BB.P(1,1,5),BC.P,B(1,1,5)D.P(1,1,5),B解析:设点P的直角坐标为(x,y,z),则x=cos=1,y=sin=1,z=5.设点B的直角坐标为(x',y',z'),则x'=sincos,y'=sinsin,z'=cos.所以点P的直角坐标为(1,1,5),点B的直角坐标为.答案:B25.空间点P的柱坐标为,则点P关于z轴的对称点为.答案:6.设点M的球坐标为,O为原点,则M到原点的距离为,OM与xOy平面所成的角为.答案:27.在柱坐标系中,已知A,B及O(0,0,0)三点,则△ABO的面积为.解析:∵A,B,O(0,0,0),∴△OAB为直角三角形.∴S△OAB=|OA||AB|=×1×2=1.答案:18.已知点P1的球坐标是,点P2的柱坐标为,则|P1P2|2=.解析:设P1的直角坐标为(x,y,z),则x=rsinφcosθ=2sincos=2,y=rsinφsinθ=2sinsin,z=rcosφ=2cos.∴P1.3同理,点P2的直角坐标为.∴|P1P2|2===18--2.答案:18--29.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,|CA|=|CB|=1,∠BCA=90°,棱|AA1|=2,M是A1B1的中点.建立适当的坐标系,求点M的空间直角坐标和柱坐标.解:建立如图所示的坐标系,过点M作底面xCy的垂线MN.∵ABC-A1B1C1是直三棱柱,∴N点在线段AB上.由点N分别作x轴、y轴的垂线NE,NF,根据已知,可得△ABC是等腰直角三角形,∴|NE|=|NF|=.故点M的空间直角坐标为.由于点M在平面xCy上的射影为点N,|CN|=,∠ECN=,故点M的柱坐标为.410.如图,在柱坐标系中,O(0,0,4),A(3,θA,4),B1(3,,0),其中θA-=60°,求直线AB1与圆柱的轴OO1所成的角和AB1的长.解:如图,作OB∥O1B1,交上底圆周于点B,连接AB,BB1,∠AOB=60°,则△OAB为等边三角形.∵BB1∥OO1,∴BB1与AB1所成的角就是AB1与圆柱的轴OO1所成的角.又BB1⊥圆O所在的平面,∴BB1⊥AB.在Rt△ABB1中,tan∠AB1B=,∴∠AB1B=37°,|AB1|==5,即直线AB1与圆柱的轴OO1所成的角为37°,AB1的长为5.5
