2微积分基本定理[A组基础巩固]1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝(1＋2x)dx，S20＝17，则S30等于()A．15B．20C．25D．30解析：S10＝(1＋2x)dx＝(x＋x2)|＝12.又{an}为等差数列，∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20.∴S30＝3(S20－S10)＝3×(17－12)＝15.答案：A2．f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，那么f(x)的解析式是()A．4x＋3B．3x＋4C．－4x＋2D．－3x＋4解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(x)dx＝(ax＋b)dx＝(ax2＋bx)|＝a＋b＝5，①xf(x)dx＝(ax2＋bx)dx＝(ax3＋bx2)|＝a＋b＝.②联立①②，解得a＝4，b＝3，∴f(x)＝4x＋3.答案：A3．m＝exdx与n＝dx的大小关系是()A．m>nB．mn.答案：A4.|x2－4|dx＝()A.B.C.D.解析：|x2－4|dx＝(4－x2)dx＋(x2－4)dx＝＋＝，故选C.答案：C5．函数F(x)＝t(t－4)dt在[－1,5]上()A．有最大值0，无最小值B．有最大值0和最小值－C．有最小值－，无最大值D．即无最大值也无最小值解析：F(x)＝(t2－4t)dt＝＝x3－2x2(－1≤x≤5)．F′(x)＝x2－4x，由F′(x)＝0，得x＝0或4，列表如下：x(－1,0)0(0,4)4(4,5)F′(x)＋0－0＋F(x)极大值极小值可见极大值F(0)＝0，极小值F(4)＝－.又F(－1)＝－，1F(5)＝－，所以最大值为0，最小值为－.答案：B6.(3x2＋k)dx＝10，则k＝________.解析：(3x2＋k)dx＝(x3＋kx)|＝10，则k＝1.答案：17．若x2dx＝18(a>0)，则a＝________.解析：x2dx＝|＝－＝18⇒a＝3.答案：38．求下列定积分．(1)sin2dx；(2)cos(x－)dx.解析：(1)sin2dx＝dx＝dx－cosxdx，因为x′＝1，(sinx)′＝cosx，所以原式＝x|－sinx＝.(2)法一：因为cos(x－)＝cosxcos＋sinxsin＝cosx＋sinx，又因为(sinx)′＝cosx，(－cosx)′＝sinx，所以cos(x－)dx＝(cosx＋sinx)dx＝(sinx－cosx)＝0.法二：∵[sin(x－)]′＝cos(x－)，2∴cos(x－)dx＝sin(x－)＝sinπ－sin＝0.9．已知函数f(x)＝∫(at2＋bt＋1)dt为奇函数，且f(1)－f(－1)＝，试求a，b的值．解析：f(x)＝(at2＋bt＋1)dt＝(t3＋t2＋t)|＝x3＋x2＋x.∵f(x)为奇函数，∴＝0，即b＝0.又∵f(1)－f(－1)＝，∴＋1＋＋1＝.∴a＝－.[B组能力提升]1．设f(x)＝则f(x)dx的值是()A.x2dxB.2xdxC.x2dx＋2xdxD.2xdx＋x2dx解析：f(x)dx＝x2dx＋－12xdx.答案：D2．若函数f(x)＝xm＋nx的导函数是f′(x)＝2x＋1，则f(－x)dx等于()A.B.C.D.解析：f′(x)＝2x＋1，∴m＝2，n＝1，∴f(x)＝x2＋x，∴f(－x)dx＝(x2－x)dx＝(x3－x2)|＝.答案：A3．若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝________.解析：因为f(x)dx是常数，所以f′(x)＝2x，所以可设f(x)＝x2＋c(c为常数)，所以x2＋c＝x2＋2|0，解得c＝－，f(x)dx＝(x2＋c)dx＝x3－x＝(－)－0＝－.答案：－4．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的导函数y＝f′(x)的部分图像如图所示，其中，P为图像与y轴的交点，A，C为图像与x轴的两个交点，B为图像的最低点．(1)若φ＝，点P的坐标为，则ω＝________.(2)若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为________．3解析：(1)因为f(x)＝sin(ωx＋φ)，所以f′(x)＝ωcos(ωx＋φ)．当φ＝时，f′(x)＝ωcos.又该函数过点P，故＝ωcos.所以ω＝3.(2)设A(x0,0)，不妨取ωx0＋φ＝，所以x0＝－.又y＝ωcos(ωx＋φ)的周期为，所以|AC|＝，C.依题意曲线段与x轴围成的面积为S＝＝2.因为|AC|＝，|yB|＝ω，所以S△ABC＝.所以满足条件的概率为.答案：(1)3(2)5．物体在力F(x)＝2016x＋1(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向从x＝1处运动到x＝2处(单位：m)，求力F所做的功．解析：W＝(2016x＋1)dx＝(1008x2＋x)|＝3025(J)．即力F所做的功是3025J.6．计算|x－a|dx，a∈R.解析：当a<0时，|x－a|dx＝(x－a)dx＝(x2－ax)|＝8－4a；当0≤a<4时，|x－a|dx＝|x－a|dx＋|x－a|dx＝(a－x)dx＋(x－a)dx＝(ax－x2)|＋(x2－ax)|＝a2－a2＋8－4a－a2＋a2＝a2－4a＋8；当a≥4时，|x－a|dx＝(a－x)dx＝(ax－x2)|＝4a－8.综上所得：当a<0时，|x－a|dx＝8－4a；当0≤a<4时，|x－a|dx＝a2－4a＋8；当a≥4时，|x－a|dx＝4a－8.45
