第1讲坐标系一、选择题1.将曲线y＝sin2x按照伸缩变换后得到的曲线方程为()A.y＝3sinxB.y＝3sin2xC.y＝3sinxD.y＝sin2x解析由伸缩变换，得x＝，y＝.代入y＝sin2x，有＝sinx′，即y′＝3sinx′.∴变换后的曲线方程为y＝3sinx.答案A2.在极坐标系中有如下三个结论：①点P在曲线C上，则点P的极坐标满足曲线C的极坐标方程；②tanθ＝1与θ＝表示同一条曲线；③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线.在这三个结论中正确的是()A.①③B.①C.②③D.③解析点P在曲线C上要求点P的极坐标中至少有一个满足C的极坐标方程；tanθ＝1能表示θ＝和θ＝π两条射线；ρ＝3和ρ＝－3都表示以极点为圆心，以3为半径的圆，∴只有③成立.答案D3.在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为，，则△AOB(其中O为极点)的面积为()A.1B.2C.3D.4解析如右图所示，OA＝3，OB＝4，∠AOB＝，所以S△AOB＝×3×4×＝3.答案C4.在极坐标系中，点A与B之间的距离为()A.1B.2C.3D.4解析由A与B，知∠AOB＝，∴△AOB为等边三角形，因此|AB|＝2.答案B5.极坐标方程ρ2－ρ(2＋sinθ)＋2sinθ＝0表示的图形为()1A.一个圆与一条直线B.一个圆C.两个圆D.两条直线解析将所给方程进行分解，可得(ρ－2)·(ρ－sinθ)＝0，即ρ＝2或ρ＝sinθ，化成直角坐标方程分别是x2＋y2＝4和x2＋y2－y＝0，可知分别表示圆.答案C6.直线ρcosθ＋2ρsinθ＝1不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析由ρcosθ＋2ρsinθ＝1，得x＋2y＝1，∴直线x＋2y＝1，不过第三象限.答案C7.点M的直角坐标为(，1，－2)，则它的球坐标为()A.B.C.D.解析设M的球坐标为(r，φ，θ)，则解得答案A8.若点P的柱坐标为，则P到直线Oy的距离为()A.1B.2C.D.解析由于点P的柱坐标为(ρ，θ，z)＝，故点P在平面xOy内的射影Q到直线Oy的距离为ρcos＝，可得P到直线Oy的距离为.答案D9.已知点A是曲线ρ＝2cosθ上任意一点，则点A到直线ρsin＝4的距离的最小值是()A.1B.C.D.解析曲线ρ＝2cosθ，即(x－1)2＋y2＝1，表示圆心在(1，0)，半径等于1的圆，直线ρsin＝4，即x＋y－8＝0，圆心(1，0)到直线的距离等于＝，所以点A到直线ρsin＝4的距离的最小值是－1＝.答案C10.在极坐标系中，直线θ＝(ρ∈R)截圆ρ＝2cos所得弦长是()2A.1B.2C.3D.4解析化圆的极坐标方程ρ＝2cos为直角坐标方程得＋＝1，圆心坐标为，半径长为1，化直线θ＝(ρ∈R)的直角坐标方程为x－y＝0，由于－×＝0，即直线x－y＝0，过圆＋＝1的圆心，故直线θ＝(ρ∈R)截圆ρ＝2cos所得弦长为2.答案B二、填空题11.已知圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|＝________.解析由ρ＝4cosθ可得x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，因此圆心C的直角坐标为(2，0).又点P的直角坐标为(2，2)，因此|CP|＝2.答案212.曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________.解析设曲线C的极坐标方程为代入直角坐标方程可得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－2ρcosθ＝0，化简整理得ρ＝2cosθ.答案ρ＝2cosθ13.直线2ρcosθ＝1与圆ρ＝2cosθ相交的弦长为________.解析直线2ρcosθ＝1可化为2x＝1，即x＝，圆ρ＝2cosθ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcosθ，化为直角坐标方程是x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，其圆心为(1，0)，半径为1，∴弦长为2×＝.答案14.在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sinθ上的动点，Q是曲线ρ＝12cos上的动点，则PQ的最大值为______.解析 ρ＝12sinθ，∴ρ2＝12ρsinθ，∴x2＋y2－12y＝0，即x2＋(y－6)2＝36.又 ρ＝12cos，∴ρ2＝12ρ，∴x2＋y2－6x－6y＝0，∴(x－3)2＋(y－3)2＝36，∴|PQ|max＝6＋6＋＝18.答案18三、解答题15.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，3求曲线C的方程，并判断其形状.解将代入(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，得(2x＋5)2＋(2y＋6)2＝1，即＋(y＋3)2＝，故曲线C是以为圆心，半径为的圆.16.已知曲线C1的极坐标方程为ρcos＝－1，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos，判断两曲线的位置关系.解将曲线C1，C2化为直角坐标方程得：C1：x＋y＋2＝0，C2：x2＋y2－2x－2y＝0，即C2：(x－1)...
