课时作业8“杨辉三角”与二项式系数的性质时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题5分，共计40分)1．在(a－b)20的二项展开式中，与第6项二项式系数相同的项是(B)A．第15项B．第16项C．第17项D．第18项解析：第6项的二项式系数为C，与它相等的为倒数第6项，即第16项．2．已知(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a8等于(A)A．180B．－180C．45D．－45解析： (2－x)10＝C210(－x)0＋C29(－x)1＋…＋C22(－x)8＋C2(－x)9＋C(－x)10，∴a8＝C22＝4×C＝4×＝4×45＝180.3．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数和是(D)A．2n＋1B．2n＋1＋1C．2n＋1－1D．2n＋1－2解析：令x＝1，可知其各项系数和为2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2.4．在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是(B)A．－7B．7C．－28D．28解析：由已知n为偶数，则＋1＝5，∴n＝8.∴(－)n＝(－)8的展开式的通项为Tr＋1＝C()8－r·(－)r＝(－1)r·()8－r·C·x，令8－＝0，得r＝6，∴常数项为T7＝(－1)6·()2·C＝×28＝7.5．满足关系式×104≤C＋C＋C＋C＋…＋C≤104的正数n是(C)A．11B．12C．13D．14解析：C＋C＋C＋C＋…＋C＝2n，而213＝8192，所以n＝13.6．在(1＋x)n(n为正整数)的二项展开式中奇数项的和为A，偶数项的和为B，则(1－x2)n的值为(C)A．0B．ABC．A2－B2D．A2＋B2解析：由题意知，(1＋x)n＝A＋B，(1－x)n＝A－B，又因为(1－x2)n＝(1－x)n(1＋x)n＝(A＋B)(A－B)＝A2－B2.7．(x－1)11的展开式中x的偶次项系数之和是(D)A．－2048B．－1023C．1024D．－1024解析：(x－1)11＝Cx11＋Cx10·(－1)＋Cx9·(－1)2＋…＋C(－1)11，x的偶次项系数为负数，其和为－210＝－1024.8．若(1－2x)2011＝a0＋a1x＋…＋a2011x2011(x∈R)，则＋＋…＋的值为(C)A．2B．0C．－1D．－2解析：ar＝(－1)rC·12011－r·2r，则＝(－1)rC，＋＋…＋＝－C＋C－C＋…－C＝－C＝－1.二、填空题(每小题6分，共计18分)9．设(2－1)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M,8，N三数成等比数列，则展开式中的第四项为－160x.解析：当x＝1时，可得M＝1，二项式系数之和N＝2n，由已知M·N＝64，∴2n＝64，n＝6.∴第四项T4＝C·(2)3·(－1)3＝－160x.10．如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b，c，d是相邻两行的前四个数(如图所示)，那么当a＝8时，c＝9，d＝37.解析：观察发现：第n行的第一个数和行数相等，第二个数是1＋1＋2＋3＋…＋n－1＝＋1.所以当a＝8时，c＝9，d＝＋1＝37.11．若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，则log2(a1＋a3＋…＋a11)＝7.解析：令x＝－1，则28＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12.令x＝－3，则0＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12.∴28＝2(a1＋a3＋…＋a11)．∴a1＋a3＋…＋a11＝27.∴log2(a1＋a3＋…＋a11)＝log227＝7.三、解答题(共计22分)12．(10分)若(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，求：(1)各项系数之和；(2)奇数项系数的和与偶数项系数的和．解：(1)各项系数之和即为a0＋a1＋a2＋…＋a10，可用“赋值法”求解．令x＝y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－3)10＝(－1)10＝1.(2)奇数项系数的和为a0＋a2＋a4＋…＋a10，偶数项系数的和为a1＋a3＋a5＋…＋a9.由(1)知a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②①＋②得，2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，故奇数项系数的和为；①－②得，2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，故偶数项系数的和为.13．(12分)已知(2x－1)n二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，求C＋C＋C＋…＋C的值．解：设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋…，由已知可得，B－A＝38.令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，即(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n，即B－A＝(－3)n.∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8.由二项式系数的性质可得C＋C＋C＋…＋C＝2n－C＝28－1＝255.——素养提升——14．(5分)将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0－1三角数表．...
