高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3.3 全称命题与特称命题的否定课时作业 北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学试题VIP免费

1.3.3全称命题与特称命题的否定[基础达标]已知命题p：任意x∈N，2x＋1∈N，则p的否定为()A．任意x∈N，2x＋1∉NB．存在x∈N，2x＋1∉NC．存在x∈N，2x＋1∈ND．存在x∉N，2x＋1∈N解析：选B.p为全称命题，其否定为：存在x∈N，2x＋1∉N.命题“存在x∈R，x2－x＜0”的否定是()A．存在x∈R，x2－x≥0B．存在x∈R，x2－2x＞0C．任意x∈R，x2－x≥0D．任意x∈R，x2－x＜0解析：选C.命题“存在x∈R，x2－x＜0的否定是：任意x∈R，x2－x≥0”．命题“原函数与反函数的图像关于y＝x对称”的否定是()A．原函数与反函数的图像关于y＝－x对称B．原函数不与反函数的图像关于y＝x对称C．存在一个函数，其原函数与反函数的图像不关于y＝x对称D．存在原函数与反函数的图像关于y＝x对称解析：选C.命题“任意x∈M，p(x)”的否定是“存在x∈M，非p(x)”．对下列命题的否定说法错误的是()A．p：能被3整除的整数是奇数；非p：存在一个能被3整除的整数不是奇数B．p：每一个四边形的四个顶点共圆；非p：存在一个四边形的四个顶点不共圆C．p：有的三角形为正三角形；非p：所有的三角形都不是正三角形D．p：存在x∈R，x2＋2x＋2≤0；非p：当x2＋2x＋2＞0时，x∈R解析：选D.特称命题的否定为全称命题．若命题“存在x∈R，使得x2＋mx＋2m－3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是()A．[－6，－2]B．[2，6]C．(2，6)D．(－6，－2)解析：选B.由题知，任意x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0恒成立为真，∴Δ≤0可得m∈[2，6]，选B.命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|＞3”的否定是________．解析：这是一个全称命题，其否定为存在x∈R，使|x－2|＋|x－4|≤3成立．答案：存在x∈R，使|x－2|＋|x－4|≤3成立命题“存在x，y＜0，x2＋y2≥2xy”的否定为________．解析：这是一个特称命题，其否定为：对任意x，y＜0，都有x2＋y2＜2xy.答案：对任意x，y＜0，x2＋y2＜2xy恒成立已知命题p：存在x∈R，x2＋2ax＋a≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________．解析：p为特称命题，又是假命题，故其否定：“对任意x∈R，x2＋2ax＋a＞0恒成立”为真命题，故Δ＝(2a)2－4a＜0，解得a∈(0，1)．答案：(0，1)写出下列全称命题或特称命题的否定．(1)存在α0，β0∈Z，使sin(α0＋β0)＝sinα0＋sinβ0；(2)对任意的x∈R，都有x2－x＋≥0；(3)存在n∈N，2n＞1000；(4)每条直线在y轴上都有一个截距．解：(1)特称命题的否定为：对任意的α、β∈Z，使sin(α＋β)≠sinα＋sinβ.1(2)全称命题的否定为：存在x∈R，使x2－x＋＜0.(3)特称命题的否定为：对任意的n∈N，有2n≤1000.(4)全称命题的否定为：存在一条直线在y轴上没有截距．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图像都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．解：(1)是全称命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形其内角和不等于180°.(2)是全称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图像开口不向下．(3)是特称命题且为真命题．命题的否定：任意一个四边形都是平行四边形．[能力提升]若“任意x∈[0，]，sinx＋cosx＜m”为假命题，则实数m的取值范围为()A．m＜1B．m≤1C．m≤2D．1≤m≤2解析：选C.令f(x)＝sinx＋cosx＝2sin(x＋)，x∈[0，]，可知f(x)在[0，]上为增函数，在(，]上为减函数，由于f(0)＝，f()＝2，f()＝1，所以1≤f(x)≤2，由于“任意x∈[0，]，sinx＋cosx＜m”为假命题，则其否定“存在x∈[0，]，sinx＋cosx≥m”为真命题，所以m≤f(x)max＝2.若“存在x∈[0，]，sinx＋cosx＜m”为假命题，则实数m的取值范围是________．解析：令f(x)＝sinx＋cosx＝2sin(x＋)，x∈[0，]，可知f(x)在[0，]上为增函数，在(，]上为减函数，由于f(0)＝，f()＝2，f()＝1，所以1≤f(x)≤2，由于“存在x∈[0，]，sinx＋cosx＜m”为假命题，则其否定“对任意x∈[0，]，sinx＋cosx≥m”为真命题，所以m≤f(x)min＝1.答案：(－∞，1]命题“任意x∈{x|x≥1}，x2＋x＋m≥0”是假命题，求实数m的取值范围．解：若原命题是真命题，即对于任意x∈{x|x≥1}，x2＋x＋m≥0恒成立，令f(x)＝x2＋x＋m，...