高中数学 第6章 推理与证明 6.2.2 间接证明：反证法应用案巩固提升 湘教版选修2-2-湘教版高二选修2-2数学试题VIP专享VIP免费

6.2.2间接证明：反证法[A基础达标]1．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是()A．有两个内角是钝角B．有三个内角是钝角C．至少有两个内角是钝角D．没有一个内角是钝角解析：选C.“最多有一个”的反设是“至少有两个”．2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线解析：选C.假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C.3．否定结论“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时，正确的反设为()A．a、b、c都是奇数B．a、b、c都是偶数C．a、b、c中至少有两个偶数D．a、b、c都是奇数或至少有两个偶数解析：选D.自然数a、b、c中奇数、偶数的可能情况有：全为奇数，恰有一个偶数，恰有两个偶数，全为偶数．剔出结论即为反设．4．设x>0，则方程x＋＝2sinx的根的情况是()A．有实根B．无实根C．恰有一实根D．无法确定解析：选B.x>0时，x＋≥2，而2sinx≤2，但此二式中“＝”不可能同时取得，所以x＋＝2sinx无实根．5．设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数()A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2解析：选C.若a，b，c都小于2，则a＋b＋c＜6①，而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6②，显然①，②矛盾，所以C正确．6．在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内的一点，∠APB＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP，用反证法证明时的假设为________________．解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP＜∠CAP的对立面是∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP.答案：∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP7．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A1＝∠B＝90°不成立．②所以一个三角形中不能有两个直角．③假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的排列为________．解析：反证法的步骤是：先假设命题不成立，然后通过推理得出矛盾，最后否定假设，得到命题是正确的．答案：③①②8．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a，b为实数)”，其反设为________．解析：“a、b全为0”即是“a＝0且b＝0”，因此它的反设为“a≠0或b≠0”．答案：a，b不全为09．如图所示，设SA、SB是圆锥的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点．求证：AC与平面SOB不垂直．证明：如图所示，连接AB，假设AC⊥平面SOB.因为直线SO在平面SOB内，所以AC⊥SO.因为SO⊥底面圆O，所以SO⊥AB，所以SO⊥平面SAB，所以平面SAB∥底面圆O.这显然矛盾，所以假设不成立，故AC与平面SOB不垂直．10．若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根，试求实数a的取值范围．解：设三个方程均无实数根，则有解得即－＜a＜－1，所以当a≥－1或a≤－时，三个方程至少有一个方程有实根．[B能力提升]11．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．解析：若a＝，b＝，则a＋b＝1，但a＜1，b＜1，故①不能推出．若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②不能推出．若a＝－2，b＝1，则a2＋b2＞2，故④不能推出．对于③，即a＋b＞2，则a，b中至少有一个大于1.反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.答案：③12．若a、b、c、d都是有理数，、都是无理数，且a＋＝b＋，则a与b，c与d之间的数量关系为__________，________．解析：假设a≠b，令a＝b＋m(m是不等于零的有理数)，于是b＋m＋＝b＋，所以m＋＝，2两边平方整理得＝.左边是无理数，右边是有理数，矛盾，因此a＝b，从而c＝d.答案：a＝bc＝d13．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴有两个不同的交点．若f(c)＝0，且0＜x＜c时f(x)＞0.(1)证明：是函数f(x)的一个零点；(2)试用反证法证明：＞c.证明：(1)因为f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，所以f(x)＝0有两个不等实...