高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2 求曲线的方程课时规范训练 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学试题VIP免费

2.1.2求曲线的方程基础练习1．曲线C的方程为y＝x(1≤x≤5)，则下列四点中在曲线C上的是()A．(0,0)B．C．(1,5)D．(4,4)【答案】D【解析】利用“曲线的方程”和“方程的曲线”的意义进行判断．2．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，点Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则点Q的轨迹方程是()A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－1＝0C．2x－y＋5＝0D．2x－y－5＝0【答案】C【解析】由题意知点M为PQ的中点，设Q(x，y)，则点P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0.故选C．3．等腰三角形ABC底边两端点是A(－，0)，B(，0)，顶点C的轨迹是()A．一条直线B．一条直线去掉一点C．一个点D．两个点【答案】B【解析】注意当点C与点A，B共线时，不符合题意，应去掉．4．(2019年云南曲靖期末)已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P满足PM·PN＝12，则点P的轨迹方程为()A．x2＋y2＝16B．x2＋y2＝8C．x2＋y2＝4D．x2＋y2＝2【答案】A【解析】设P(x，y)，则PM＝(－2－x，－y)，PN＝(2－x，－y)．于是PM·PN＝(－2－x)(2－x)＋y2＝12，化简得x2＋y2＝16，此即为所求点P的轨迹方程．5．与两条坐标轴的距离的积是3的点的轨迹方程是________．【答案】xy＝±3【解析】设动点坐标为(x，y)，则由已知得|x|·|y|＝3，故轨迹方程为xy＝±3.6．若点A(1,1)，B(2，m)都在方程ax2＋xy－2＝0的曲线上，则m＝________.【答案】－1【解析】∵A(1,1)，B(2，m)都在方程ax2＋xy－2＝0的曲线上，∴∴a＝1，m＝－1.7．已知△ABC，A(－2,0)，B(0，－2)，第三个顶点C在曲线y＝3x2－1上移动，求△ABC重心G的轨迹方程．解：设点G的坐标为(x，y)，点C的坐标为(x1，y1)，∵G点是△ABC的重心，∴化简并整理得①∴点C的坐标为(3x＋2,3y＋2)．∵顶点C在曲线y＝3x2－1上移动，∴把①式代入y＝3x2－1，得3y＋2＝3(3x＋2)2－1，整理得y＝(3x＋2)2－1.1∴△ABC重心G的轨迹方程为y＝(3x＋2)2－1.8．过点P1(1,5)作一直线交x轴于点A，过点P2(2,7)作直线P1A的垂线，交y轴于点B，点M满足BM∶MA＝1∶2，求动点M的轨迹方程．解：设直线P2B的方程为y－7＝k(x－2)，M(x，y)．当k＝0时，得A(1,0)，B(0,7)．则由BM∶MA＝1∶2，得x＝，y＝.当k≠0时，则P1A的方程为y－5＝－(x－1)，则有A(5k＋1,0)，B(0，－2k＋7)．则由BM∶MA＝1∶2，得消去k，并整理得12x＋15y－74＝0.经验证点也满足方程12x＋15y－74＝0.综上，所求的轨迹方程为12x＋15y－74＝0.能力提升9．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点且满足|MN|·|MP|＋MN·NP＝0，则点P的轨迹方程为()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝4xD．y2＝－4x【答案】B【解析】设P(x，y)，∵|MN|·|MP|＝4，MN·NP＝4(x－2)，∴4＋4(x－2)＝0，即y2＝－8x.故选B．10．已知A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是()A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0D．4x－3y－16＝0或4x－3y－24＝0【答案】B【解析】由题意可得|AB|＝＝5，又△ABC的面积为10，则动点C到AB的距离d＝4.设C(x，y)，AB的方程为＝，即4x－3y＋4＝0.由题意可得＝4，即|4x－3y＋4|＝20，所以动点C的轨迹方程为4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.11．已知A为定点，线段BC在定直线l上滑动，|BC|＝4，点A到直线l的距离为3，则△ABC外心的轨迹方程为____________________．【答案】x2－6y＋5＝0【解析】建立平面直角坐标系，使x轴与l重合，点A在y轴上(如图所示)，则A(0,3)．设△ABC的外心为点P(x，y)，因为点P在线段BC的垂直平分线上，所以不妨令B(x＋2,0)，C(x－2,0)．又点P在线段AB的垂直平分线上，所以|PA|＝|PB|，即＝，化简得x2－6y＋5＝0.于是△ABC外心的轨迹方程为x2－6y＋5＝0.12．过点M(0,1)的直线l交曲线4x2＋y2＝4于A，B两点，O是坐标原点，l上的动点P满足OP＝(OA＋OB)．当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程．解：当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋1.由消去y并化简，得2(4＋k2)x2＋2kx－3＝0.设直线l与曲线的交点A(x1，y2)，B(x2，y2)，动点P(x，y)，则x1＋x2＝－，∴y1＋y2＝.∴OP＝(OA＋OB)＝＝.∴消去参数k,得4x2＋y2－y＝0.当直线l斜率不存在时，线段AB的中点为原点(0,0)，也满足上述方程．∴点P的轨迹方程是4x2＋y2－y＝0.3