课时分层作业(二十)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A.B．5C.D．2A[由题意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝＝5，∴e＝.]2．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为4，离心率为，则双曲线的标准方程为()A.－＝1B．x2－＝1C.－＝1D．x2－＝1A[ 双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为4，∴a＝2，又 e＝＝，∴c＝2，∴b＝＝＝4.则双曲线的标准方程－＝1.]3．已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为()A．x±y＝0B.x±y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝0A[由题意知e1＝，e2＝，∴e1·e2＝·＝＝.又 a2＝b2＋c，c＝a2＋b2，∴c＝a2－b2，∴＝＝1－4，即1－4＝，解得＝±，∴＝.令－＝0，解得bx±ay＝0，∴x±y＝0.]二、填空题4．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率为________．[解析]由2a＋2c＝4b，得a＋c＝2b＝2，即a2＋2ac＋c2＝4c2－4a2，得5a2＋2ac－3c2＝0，(5a－3c)·(a＋c)＝0，即5a＝3c，e＝＝.[答案]5．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程是________．[解析]双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，则焦点在x轴上，且a＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4，即c∶b＝5∶4，解得c＝5，b＝4，则双曲线的标准方程是－＝1.[答案]－＝16．当双曲线C：－＝1(－2＜m＜0)的焦距取得最小值时，双曲线C的渐近线方程为________．[解析]由题意可得c2＝m2＋2m＋4＝(m＋1)2＋3，∴当m＝－1时，焦距2c取得最小值，此时双曲线C的标准方程为x2－＝1其渐近线方程为y＝±x.1[答案]y＝±x7．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于________．[解析]双曲线的一条渐近线方程为－＝0，即bx－ay＝0，焦点(c,0)到该渐近线的距离为＝＝，故b＝，结合＝2，c2＝a2＋b2得c＝2，则双曲线C的焦距为2c＝4.[答案]48．y＝kx＋2与双曲线－＝1右支交于不同的两点，则实数k的取值范围是________．[解析]由消去y得(1－4k2)x2－16kx－25＝0，∴∴－0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为()A.B.C.D．3B[不妨设P为双曲线右支上一点，|PF1|＝r1|PF2|＝r2.根据双曲线的定义，得r1－r2＝2a，又r1＋r2＝3b，故r1＝，r2＝.又r1·r2＝ab，所以·＝ab，解得＝(负值舍去),故e＝＝＝＝＝.]22．过双曲线C：－＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为________．[解析]由直线方程x＝a和渐近线方程y＝x联立解得A(a，b)．由以C的右焦点为圆心，4为半径的圆过原点O，可得c＝4，即右焦点F(4,0)．由该圆过A点，可得|FA|2＝(a－4)2＋b2＝a2＋b2－8a＋1...
