高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式综合检测 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP专享VIP免费

第三讲柯西不等式与排序不等式讲末综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a，b，x1，x2∈R＋，ab＝1，x1＋x2＝2，则M＝(ax1＋bx2)·(bx1＋ax2)与4的大小关系是()A．M＞4B．M＜4C．M≥4D．M≤4解析：选C.(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)＝[()2＋()2]·[()2＋()2]≥[(x1＋x2)]2＝(x1＋x2)2＝4.2．已知2x＋3y＋4z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是()A．B．C．D．解析：选D.由2x＋3y＋4z＝1，利用柯西不等式可得(x2＋y2＋z2)(4＋9＋16)≥(2x＋3y＋4z)2＝1，故x2＋y2＋z2≥，当且仅当＝＝时，取等号．故x2＋y2＋z2的最小值为.3．函数y＝3sinx＋4cosx的最大值为()A．3B．4C．5D．7解析：选C.由柯西不等式得(3sinx＋4cosx)2≤(32＋42)(sin2x＋cos2x)＝25.即－5≤3sinx＋4cosx≤5，所以y＝3sinx＋4cosx的最大值为5.4．已知3x2＋2y2≤1，则3x＋2y的取值范围是()A．[0，]B．[－，0]C．[－，]D．[－5，5]解析：选C.因为(3x2＋2y2)[()2＋()2]≥(x·＋y·)2＝(3x＋2y)2，即5(3x2＋2y2)≥(3x＋2y)2(当且仅当x＝y时等号成立)，又3x2＋2y2≤1，所以(3x＋2y)2≤5，所以－≤3x＋2y≤.5．设a，b，c为正数，则(a＋b＋c)的最小值为()1A．54B．9C．121D．8解析：选C.因为a，b，c为正数，所以(a＋b＋c)＝≥(2＋3＋6)2＝121.当且仅当a＝2，b＝3，c＝6时取等号．6．设a1，a2，a3为正数，E＝＋＋，F＝a1＋a2＋a3，则E，F的大小关系是()A．E＜FB．E≥FC．E＝FD．E≤F解析：选B.不妨设a1≥a2≥a3＞0，于是≤≤，a2a3≤a3a1≤a1a2.由排序不等式：顺序和≥乱序和，得＋＋≥·a2a3＋·a3a1＋·a1a2＝a3＋a1＋a2，即＋＋≥a1＋a2＋a3.所以E≥F.7．函数y＝＋＋的最大值为()A．B．3C．4D．5解析：选C.由柯西不等式可得，函数y＝＋＋≤·＝4，当且仅当＝＝时，等号成立，故函数y的最大值为4.8．若x＋2y＋4z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是()A．21B．C．16D．解析：选B.因为1＝x＋2y＋4z≤·，所以x2＋y2＋z2≥，当x＝＝，即x＝，y＝，z＝时，等号成立，故x2＋y2＋z2取得最小值.9．已知x，y，z均为正数，a＝，b＝，则a与b的大小关系为()A．a>bB．a＝bC．a0，y>0，z>0，所以a>0，b>0，因为≥，即b2≥a2，所以b≥a.当且仅当＝＝，即x＝y＝z时，等号成立．10．已知x，y，a，b为正数，且a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，则a，b的值分别为()A．a＝2，b＝8B．a＝8，b＝2C．a＝2，b＝8或a＝8，b＝2D．a＝2，b＝2或a＝8，b＝8解析：选C.因为x＋y＝(x＋y)≥(＋)2＝a＋b＋2＝18.又a＋b＝10，所以ab＝16.所以a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.11．已知x，y，z，a，b，c，k均为正数，且x2＋y2＋z2＝10，a2＋b2＋c2＝90，ax＋by＋cz＝30，a＋b＋c＝k(x＋y＋z)，则k＝()A．B．C．3D．9解析：选C.因为x2＋y2＋z2＝10，a2＋b2＋c2＝90，ax＋by＋cz＝30，所以(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)＝(ax＋by＋cz)2.又(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2等号成立，当且仅当＝＝＝k，则a＝kx，b＝ky，c＝kz，代入a2＋b2＋c2＝90，得k2(x2＋y2＋z2)＝90.于是k＝3，故选C.12．已知a2＋b2＋c2＝1，若a＋b＋2c≤|x－1|＋|x＋m|对任意实数a，b，c，x恒成立，则实数m的取值范围是()A．[8，＋∞)B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C．(－∞，－1]∪[8，＋∞)D．[2，＋∞)解析：选B.由柯西不等式得，(a＋b＋2c)23≤(2＋3＋4)(a2＋b2＋c2)＝9，即|a＋b＋2c|≤3，即a＋b＋2c的最大值为3，当且仅当时等号成立，所以a＋b＋2c≤|x－1|＋|x＋m|对任意实数a，b，c，x恒成立等价于|x－1|＋|x＋m|≥3对任意实数x恒成立．又因为|x－1|＋|x＋m|≥|(x－1)－(x＋m)|＝|m＋1|对任意x恒成立，因此有|m＋1|≥3，解得m≥2或m≤－4.二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若x＋y＋z＝6，则x2＋y2＋z2的最小值为________．解析：因为(12＋12＋12)(x2＋y2＋z2)≥(x＋y＋z)2＝36，当且仅当x＝y＝z＝2时等号成立．所以x2＋y2＋z2≥12.答案：1214．函数y＝2＋的最大值是________．解析：y＝×＋≤＝.当且仅当x＝时，等号成立．答案：15．若x，y，z∈R＋，且＋＋＝1，则x＋＋的最小...