第3章数系的扩充与复数的引入章末检测一、填空题1．z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的________条件．答案充分不必要解析因为z1＝z2，所以解得m＝1或m＝－2，所以m＝1是z1＝z2的充分不必要条件．2．i是虚数单位，复数的共轭复数为________．答案1－2i解析＝＝＝1＋2i，其共轭复数为1－2i.3．已知a是实数，是纯虚数，则a＝________.答案1解析＝＝是纯虚数，则a－1＝0，a＋1≠0，解得a＝1.4．若(x－i)i＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝________.答案2＋i解析 (x－i)i＝y＋2i，xi－i2＝y＋2i，∴y＝1，x＝2，∴x＋yi＝2＋i.5．在复平面内，O是原点，OA，OC，AB对应的复数分别为－2＋i，3＋2i,1＋5i，那么BC对应的复数为________．答案4－4i解析因为OA，OC，AB对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，BC＝OC－OB＝OC－(OA＋AB)，所以BC对应的复数为3＋2i－[(－2＋i)＋(1＋5i)]＝4－4i.6．(1＋i)20－(1－i)20的值是________．答案0解析(1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.7．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为________．答案解析因为复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，所以z＝＝＝＝＋i，故z的虚部等于.8．设x＝3＋4i，则复数z＝x－|x|－(1－i)在复平面上的对应点在第________象限．答案二解析 x＝3＋4i，∴|x|＝＝5，∴z＝3＋4i－5－(1－i)＝(3－5－1)＋(4＋1)i＝－3＋5i.∴复数z在复平面上的对应点在第二象限．9．若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是________．答案(4，－2)解析z＝＝4－2i对应的点的坐标是(4，－2)．110．已知f(n)＝in－i－n(n∈N*)，则集合{f(n)}的元素个数是________．答案3解析f(n)有三个值0,2i，－2i.11．复平面内，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是________．答案(3,4)解析 z＝m2－4m＋(m2－m－6)i所对应的点在第二象限，∴，解得31＋i；③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；④若一个数是实数，则其虚部不存在；⑤若z＝，则z3＋1对应的点在复平面内的第一象限．答案⑤解析由y∈∁CR，知y是虚数，则不成立，故①错误；两个不全为实数的复数不能比较大小，故②错误；原点也在虚轴上，表示实数0，故③错误；实数的虚部为0，故④错误；⑤中z3＋1＝＋1＝i＋1，对应点在第一象限，故⑤正确．14．下列是关于复数的类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由实数绝对值的性质|x|2＝x2类比得到复数z的性质|z|2＝z2；③已知a，b∈R，若a－b＞0，则a＞b类比得已知z1，z2∈C，若z1－z2＞0，则z1＞z2；④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．其中推理结论正确的是________．答案①④二、解答题15．设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当m为何值时，(1)z是实数？(2)z是纯虚数？解(1)要使复数z为实数，需满足，解得m＝－2或－1.即当m＝－2或－1时，z是实数．(2)要使复数z为纯虚数，需满足，解得m＝3.即当m＝3时，z是纯虚数．16．已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2.(1)求复数z；(2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．解(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，由已知条件得a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi. z2的虚部为2，∴2ab＝2.∴a＝b＝1或a＝b＝－1，即z＝1＋i或z＝－1－i.(2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i，∴点A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，2∴S△ABC＝AC×1＝×2×1＝1.当z＝－1－i时，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i.∴点A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，∴S△ABC＝AC×1＝×2×1＝1.∴△ABC的面积为1.17．设复数z＝，若z2＋az＋b＝1＋i，求实数a，b的值．解z＝＝＝＝＝1－i.将z＝1－i代入z2＋az＋b＝1＋i，得(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i，...
