第三章测评B(高考体验卷)(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(每小题3分,共30分)1.(2013湖北高考)已知0<θ<,则双曲线C1:=1与C2:=1的()A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D.离心率相等解析:对于双曲线C1:=1,=cos2θ,=sin2θ,=1;对于双曲线C2:=1,=sin2θ,=sin2θtan2θ,=sin2θ+sin2θtan2θ=sin2θ(1+tan2θ)=sin2θ=tan2θ. 只有当θ=kπ+(k∈Z)时,,而0<θ<,∴排除A,B,C.设双曲线C1,C2的离心率分别为e1,e2,则.故e1=e2,即两双曲线的离心率相等.答案:D2.(2013课标全国Ⅰ高考)已知椭圆E:=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1解析:设A(x1,y1),B(x2,y2), A,B在椭圆上,∴①-②,得=0,即=-, AB的中点为(1,-1),∴y1+y2=-2,x1+x2=2,而=kAB=,∴.又 a2-b2=9,∴a2=18,b2=9.∴椭圆E的方程为=1.故选D.答案:D3.(2013山东高考)抛物线C1:y=x2(p>0)的焦点与双曲线C2:-y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=()A.B.C.D.解析:设M,y'='=,故在M点处的切线的斜率为,故M.由题意又可知抛物线的焦点为,双曲线右焦点为(2,0),且,(2,0)三点共线,可求得p=,故选D.答案:D4.(2013天津高考)已知双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,则p=()A.1B.C.2D.3解析:设A点坐标为(x0,y0),则由题意,得S△AOB=|x0|·|y0|=.抛物线y2=2px的准线为x=-,所以x0=-,代入双曲线的渐近线的方程y=±x,得|y0|=.由得b=a,所以|y0|=p.所以S△AOB=p2=,解得p=2或p=-2(舍去).答案:C5.(2013北京高考)若双曲线=1的离心率为,则其渐近线方程为()A.y=±2xB.y=±xC.y=±xD.y=±x解析:由离心率为,可知c=a,∴b=a.∴渐近线方程为y=±x=±x,故选B.答案:B6.(2012上海高考)对于常数m,n,“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:由mx2+ny2=1表示椭圆,可知m>0,n>0,m≠n,所以m>0,n>0且m≠n⇒mn>0.而显然mn>0m>0,n>0且m≠n.答案:B17.(2012江西高考)椭圆=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为()A.B.C.D.-2解析:因为A,B为左,右顶点,F1,F2为左,右焦点,所以|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c.又因为|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,所以(a-c)(a+c)=4c2,即a2=5c2.所以离心率e=,故选B.答案:B8.(2012课标全国高考)设F1,F2是椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为()A.B.C.D.解析:设直线x=与x轴交于点M,则∠PF2M=60°,在Rt△PF2M中,PF2=F1F2=2c,F2M=-c,故cos60°=,解得,故离心率e=.答案:C9.(2012山东高考)已知双曲线C1:=1(a>0,b>0)的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为()A.x2=yB.x2=yC.x2=8yD.x2=16y解析:由于e==2,∴c=2a,即c2=4a2.又有c2=a2+b2,∴b2=3a2,即b=a.∴双曲线的渐近线方程y=±x即为y=±x,即±x+y=0.又抛物线的焦点坐标为F,F到渐近线的距离为2,即=2,解得p=8.∴抛物线C2的方程为x2=16y.答案:D10.(2014湖北高考)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A.B.C.3D.2解析:设椭圆长半轴为a1,双曲线实半轴长为a2,|F1F2|=2c.由余弦定理4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos.而|PF1|+|PF2|=2a1,||PF1|-|PF2||=2a2可得+3=4c2.令a1=2ccosθ,a2=sinθ,即=2cosθ+sinθ=2==sin.故最大值为,故选A.答案:A二、填空题(每小题4分,共20分)11.(2013陕西高考)双曲线=1的离心率为,则m等于.解析:由双曲线方程知a=4.又e=,解得c=5,故16+m=25,m=9.答案:912.(2013安徽高考)已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为.解析:如图,设C(x0,)(≠a),A(-,a),B(,a),则=(--x0,a-),=(-x0,a-). CA⊥CB,∴·=0,2即-(a-)+(a-)2=0,(a-)(-1+a-)=0,∴=a-1≥0,∴a≥1.答案:[1,+∞)13.(2013江西高考)抛物线x2=2py(p>0)的焦点...
