高考数学总复习教程第16讲 平面向量的数量积及其应用VIP专享VIP免费

高考数学总复习教程第16讲平面向量的数量积及其应用一、本讲内容本讲进度，向量的数量积，数量积的应用二、学习指导要深刻理解向量数量积的定义：、=cos＜、＞.它是数（可正、可负，也可以为零），但不是向量，因此，·=·，λ（·）=·λ，·（+）=·=·，·=0（而不是！）特别地，（·）≠·（·），因为左边是与共线的向量，而右边是与共线的向量，除特殊情况外，两者不相等。我们利用向量的数量积（又称为点积）可以解决向量的夹角问题，特别地，利用向量的数量可以很方便地解决垂直问题，：⊥·=0，（，非零向量）cos＜、＞是在上的射影，值得注意的是它仍是一个数（可正，可负，可以为0）而不是向量。特别地，·=2cos＜·=2，由此，可把点积与模长（距离）挂上钩。三、典型的例题讲解例1．证明三角形中的射影定理：a=bcosC+ccosB用向量证明一些三角问题，如正弦定理，余弦定理等很方便，但同学们却觉得不好掌握，这里我们再看一个例子。=+，两边同等，2=·+·=cosB+cosC两边约去，可得=cosB+cosC，即a=ccosB+bcosC例2．平面内有四点，O、A、B、C，记=，=，=若++=且·=·=·=－1，试判断△ABC的形状，并求其面积.千万不能由·=·约得到=，一是过程差无根据，二是合得到A、B、C当同一点的荒谬结论。也不能由·=·+=·=－1得到===1，从而===1，圆为≠·，前者=|+cos<·＞|≤，等号当且仅当，共线且同面或，中有当者其他条件当然不是可有可无的，故应出现向量和，于是我们想到·=·和·=·相加，得到了2·=（+）=－(+)2，进而有2=2=4·=0如无·=－1的条件就做不下去了，故在此时引入有2=2=4，因原来的条件都是、、的轮换对称式，当然想到2=2=4和2=2=4，至此距解决问题已经不远了。例3．设、分别为方向与x轴，y轴的正向相同的单位向量，A、B、C为同一直线上的三点，O为坐标原点，已知=－2tm，=n+，=5－，又知⊥，求m、n的值.求m、n两个未知数，有⊥及A、B共线两个条件，代入计算即可.例4．求证：三角形三角高线交于一点.设三顶点后，表示出三边向量、、，设a、b两边的高线交点为H，表示、=0和·=0去证·=0，从而说明三高共点.为减少计算量，当然应当选取合适的坐标系，以一边及其上的高所在直线上为两坐标轴较好。例5．已知三不共线向量、、两两所成角相等，用心爱心专心123号编辑1且=1，=2，=3，求++的模长及已知三向量间的夹角.要想把、、两两所成角相等体现出来，我们以同一点O为始点作三有向线段、、两两夹角相等，均为π.于是要求，只要先求(++)2即可.例6．已知、是两个非零向量，求证：当⊥(+x)时，|+x|最小.要求|+x|最小，等价于求何(+x)2最小. (+x)2=x22+2x·+2三项均为实数且平方项系数2=2＞0，故当x=－时原式有最小值，此处，向量竟与二次函数挂上了钩.例7．设、为相互垂直的两个单位向量，问是滞存在整数k，使得向量=k+与向量=+k夹角为比？证明你的结论.已知夹角应使用向量的数量积：cos600=其中===(因⊥，∴·=0，因、为单位向量，∴2=1，2=1)，如求出k合整值或k无解或无整数解，问题均告解决.例8．已知、均为非零向量，且==的夹角.根据公式cos<，+＞==应先求与·的值.==，也归纳到、上了，且、应通过==，故2=2=(－)2=2+2―2·求出.例9．求证：菱形的两条对角线互相垂直.菱形是边长都相等的平行四边形“边长相等”怎么用？对菱形ABCD，记=·=，则=+，=－，·=(+)·(－)=2－2，到此，可看出边长相等的作用了.例10．单位向量、夹角为1200，求向量=2+3和向量=－2的夹角.求·，，时，都需用到、应先行计算出来.四、巩固练习1．已知向量=(－1)，=（，）（1）求证：⊥；（2）若存在不同时为零的实数k和t，使=+(t2－3)，=－k+t，且⊥，写出函数关系式k=f(t)；用心爱心专心123号编辑2（3）在（2）中，确定函数k=f(t)的单调区间.2．已知向量=(cosα，sinα)，=(cosβ，sinβ)又知=其中k＞0（1）用k表示、.（2）、的最小值，并求此时与的夹角。3．已知O是△ABC所在平面内一点，且满足2+2=2+2=2+2，求证：O是△ABC的垂足.4．已知、为两个非零向量，且+3与7－5互相垂直，－4与7－2互相垂直，求与的夹角.5．（1）已知=2，=1，与夹角为，求+与－2的夹角（2）已知=4，=3，且（3－）(...