1.2.2充要条件A级：基础巩固练一、选择题1．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b.又a⊂α，b⊂β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．2．给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析∵綈p是q的必要而不充分条件，∴q⇒綈p，但綈p\s\up0()⇒q，其逆否命题为p⇒綈q，但綈q\s\up0()⇒p，因为原命题与其逆否命题是等价命题．故选A.3．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析f(x)是奇函数时，φ＝＋kπ(k∈Z)；φ＝时，f(x)＝Acos＝－Asinωx，为奇函数．所以“f(x)是奇函数”是“φ＝”的必要不充分条件．故选B.4．已知直线l1：ax＋(a＋1)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0，则“a＝－2”是“l1⊥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析直线l1⊥l2的充要条件是a＋a(a＋1)＝0，解得a＝0或a＝－2，所以“a＝－2”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．5．已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是0)，a2n－1＋a2n＝a1q2n－2＋a1q2n－1＝a1q2n－2(1＋q)．若q<0，因为1＋q的符号不确定，所以无法判断a2n－1＋a2n的符号；反之，若a2n－1＋a2n<0，即a1q2n－2(1＋q)<0，可得q<－1<0.故“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的必要而不充分条件．故选C.二、填空题7．设函数f(x)＝ax＋b(0≤x≤1)，则a＋2b>0是f(x)>0在[0,1]上恒成立的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案必要不充分解析由⇒⇒a＋2b>0.而仅有a＋2b>0，无法推出f(0)>0和f(1)>0同时成立．8．已知a，b为两个非零向量，有以下命题：①a2＝b2；②a·b＝b2；③|a|＝|b|且a∥b.其中可以作为a＝b的必要不充分条件的命题是________．(将所有正确命题的序号填在题中横线上)答案①②③解析显然a＝b时①②③均成立，即必要性成立．当a2＝b2时，(a＋b)·(a－b)＝0，不一定有a＝b；当a·b＝b2时，b·(a－b)＝0，不一定有a＝b；|a|＝|b|且a∥b时，a＝b或a＝－b，即①②③都不能推出a＝b.三、解答题9．已知条件p：|x－1|＞a和条件q：2x2－3x＋1＞0，求使p是q的充分不必要条件的最小正整数a.解依题意a＞0.由条件p：|x－1|＞a得x－1＜－a或x－1＞a，所以x＜1－a或x＞1＋a，由条件q：2x2－3x＋1＞0得x＜或x＞1.要使p是q的充分不必要条件，即“若p，则q”为真命题，逆命题为假命题，应有解得a≥.令a＝1，则p：x＜0或x＞2，此时必有x＜或x＞1.即p⇒q，反之不成立．所以，使p是q的充分不必要条件的最小正整数a＝1.B级：能力提升练设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.证明必要性：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根ξ，则⇒ξ＝＝.∴2＋2c·－b2＝0⇒a2＝b2＋c2，∴∠A＝90°.充分性：若∠A＝90°，则a2＝b2＋c2，易得x0＝是方程的公共根．综上可知，方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.23
