高考数学总复习 第七章 立体几何 课时作业46 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP免费

课时作业46空间向量的运算及应用1．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为(D)A．－2B．－C.D．2解析：由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2.2．若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有OP＝OA＋OB＋OC，则P，A，B，C四点(B)A．不共面B．共面C．共线D．不共线解析：由已知可得OP－OA＝－OA＋OB＋OC，即OP－OA＝－OA＋OB＋OC－OA，可得AP＝－(OA－OB)＋(OC－OA)＝－BA＋AC＝(AC＋AB)，所以AP，AC，AB共面但不共线，故P，A，B，C四点共面．3．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝0，M为BC的中点，则△AMD是(C)A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定解析： M为BC的中点，∴AM＝(AB＋AC)．∴AM·AD＝(AB＋AC)·AD＝AB·AD＋AC·AD＝0.∴AM⊥AD，即△AMD为直角三角形．4．如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且分MN所成的比为2，现用基向量OA，OB，OC表示向量OG，设OG＝xOA＋yOB＋zOC，则x，y，z的值分别是(D)A．x＝，y＝，z＝B．x＝，y＝，z＝C．x＝，y＝，z＝D．x＝，y＝，z＝解析：设OA＝a，OB＝b，OC＝c， G分MN的所成比为2，∴MG＝MN，∴OG＝OM＋MG＝OM＋(ON－OM)＝a＋＝a＋b＋c－a＝a＋b＋c，即x＝，y＝，z＝.5．已知空间向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且a，b的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点A，B满足OA＝2a＋b，OB＝3a－b，则△OAB的面积为(B)A.B.C.D.解析：|OA|＝＝＝，同理|OB|＝，则cos∠AOB＝＝＝，从而有sin∠AOB＝，∴△OAB的面积S＝×××＝，故选B.6．如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值为(A)A.B.C.D.解析：因为BC＝AC－AB，所以OA·BC＝OA·AC－OA·AB＝|OA||AC|cos〈OA，AC〉－|OA||AB|cos〈OA，AB〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝－16＋24.所以cos〈OA，BC〉＝＝＝.即OA与BC所成角的余弦值为.7．已知2a＋b＝(0，－5,10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为60°.解析：由题意，得(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10，即2a·c＋b·c＝－10.又 a·c＝4，∴b·c＝－18，∴cos〈b，c〉＝＝＝－，又 〈b，c〉∈[0°，180°]，∴〈b，c〉＝120°，∴两直线的夹角为60°.8．已知O点为空间直角坐标系的原点，向量OA＝(1,2,3)，OB＝(2,1,2)，OP＝(1,1,2)，且点Q在直线OP上运动，当QA·QB取得最小值时，OQ的坐标是.解析： 点Q在直线OP上，∴设点Q(λ，λ，2λ)，则QA＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，QA·QB＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝62－.即当λ＝时，QA·QB取得最小值－.此时OQ＝.9．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，VP＝VC，VM＝VB，VN＝VD.则VA与平面PMN的位置关系是VA∥平面PMN.解析：如图，设VA＝a，VB＝b，VC＝c，则VD＝a＋c－b，由题意知PM＝b－c，PN＝VD－VC＝a－b＋c.因此VA＝PM＋PN，∴VA，PM，PN共面．又 VA⊄平面PMN，∴VA∥平面PMN.10．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G分别是A1D1，D1D，D1C1的中点．(1)试用向量AB，AD，AA1表示AG；(2)用向量方法证明平面EFG∥平面AB1C.解：(1)设AB＝a，AD＝b，AA1＝c.由图得AG＝AA1＋A1D1＋D1G＝c＋b＋DC＝a＋b＋c＝AB＋AD＋AA1.(2)证明：由题图，得AC＝AB＋BC＝a＋b，EG＝ED1＋D1G＝b＋a＝AC， EG与AC无公共点，∴EG∥AC， EG⊄平面AB1C，AC⊂平面AB1C，∴EG∥平面AB1C.又 AB1＝AB＋BB1＝a＋c，FG＝FD1＋D1G＝c＋a＝AB1， FG与AB1无公共点，∴FG∥AB1， FG⊄平面AB1C，AB1⊂平面AB1C，∴FG∥平面AB1C，又 FG∩EG＝G，FG，EG⊂平面EFG，∴平面EFG∥平面AB1C.11．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上，且AM＝MC1，N为B1B的中点，则|MN|为(A)A.aB.aC.aD.a解析：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)，因为点M在AC1上，且AM＝MC1，则(x－a，y，z)＝(－x，a...